Конец дидактического материала занятия 7

Вопросы для предварительной самостоятельной подготовки задания 7

1. Основные положения численной модели развития региональной экономики

2. Структура Вашей интеллект – карты в приложении к региону

3. Сформировать численную модель развития региональной экономики.

Тема 8.Региональные рынки и их территориальное развитие. (8 часов)

Занятие 8. Тема занятия. Построение базовой модели рынка. Моделирование совершенной кон­куренции Моделирование олигополии. Моделирование монополии (8 час.)

Базовую математическую модель рынка с двумя производителя и двумя потребителями (модель 2*2) представим как вариант модели рынка (7.1.1)-(7.1.5) в линейной постановке, (т. е. цены на некоторый период времени постоянны) с учетом введенных обозначений, в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X) = p₁x₁ + p₂x₂, max f₂(X) = p₃x₃ + p₄x₄, (7.5.1)

min f₃(X) = p₁x₁ + p₃x₃ , min f₄(X) = p₂x₂ + p₄x₄}, (7.5.2)

при ограничениях b ≤ p₁x₁ + p₃x₃ ≤ b , b ≤ p₂x₂ + p₄x₄ ≤ b , (7.5.3)

a₁x₁+ a₂x₂ ≤ b₁, a₃x₃ + a₄x₄ ≤ b₂, (7.5.4)

x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (7.5.5)

где x₁, x₂ - объемы продукта проданные первым, x₃, x₄ - вторым производителем первому и второму потребителю соответственно;

p₁, p₂, p₃, p₄ - цены на продукт фиксированы, что позволяет рассматривать задачу (6.3.1)-(6.3.5) как линейную;

a₁, a₂, a₃, a₄ - затраты на производство продукта у обоих производителей;

p_q= c_q-a_q - прибыль от производства и продажи продукта у обоих производителей q=1, 2;

b , b , l=1,2 - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм первый и второй потребитель.

b_q - финансовые возможности фирмы при производстве продукта, q=1,2.

Математическая модель рынка (7.5.1)-(7.5.5) может использоваться для различных рыночных структур, путем изменения соответствующих параметров, поэтому она названа базовой. Аналогично могут быть построены базовые модели большей размерности.

Для решения векторной задачи (7.5.1)-(7.5.5) используем алгоритмы, основанные на основе нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные в четвертой части. Решение задачи (7.5.1)-(7.5.5) рассмотрим при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия.

В модели такого рынка в зависимости от изменения параметров модели - цены на товар и ресурсных затрат можно рассматривать:

а) модель с одинаковыми параметрами, что соответствует модели совершенной кон­куренции (см. раздел 7.6);

б) модель олигополии, в которой параметры могут изменяться, т. е. у некоторых фирм имеется возможность доминирования над другими фирмами по ценам ресурсам и прочим параметрам (см. раздел 7.7).

в) модель монополии, в которой имеется один критерий (7.5.1) производителей и множество критериев (7.5.2) потребителей; модель монопсонии, в которой имеется и множество критериев (7.5.1) производителей и один критерий (7.5.2) потребителя (см. раздел 7.8).

Методологию моделирования структуры рынка покажем на примере совершенной конкуренции и проведем в два этапа: построение модели вида (7.5.1)-(7.5.5) и непосредственно моделирование.

8.1. Моделирование совершенной кон­куренции

Совершенная конкуренция — состязание экономиче­ских субъектов на товарном рынке, при котором ни один из них не имеет достаточно большой доли рынка, чтобы оказать влияние на цену продукта.

Модель совершенной конкуренции характеризуется пя­тью признаками:

1) наличие множества продавцов и покупателей;

2) товар на таком рынке столь однороден, что ни один из продавцов не может выделиться особыми свойствами своей продукции;

3) невозможность влияния на рыночную цену, т.к. ни один из продавцов или покупателей не обладает существен­ной долей рынка;

4) свободный вход и выход с рынка;

5) максимальная доступность информации о ценах и товарах [70].

Построение числовой модели совершенной конкуренции покажем на модели (7.5.1)-(7.5.5) с двумя производителями и двумя потребителями.

Для совершенной конкуренции характерно то, что производственные параметры (затраты на производство продукции и стоимость продаж), как правило, у обоих производителей равны. Эти требования отразим в математической модели рынка (7.5.1)-(7.5.5).

Дано. Введем обозначения, уточняющие модель (7.5.1)-(7.5.5):

p₁= p₂= p₃=p₄=50 - цены на продукт; a₁= a₂= a₃=a₄=40 - затраты;

p₁=p₂=p₃=p₄=(p₁-a₁)=10 - прибыль от производства и продажи продукта;

b =3500, b =5000, l=1,2; b_q=5000, q=1,2.

Связь спроса и предложения решена следующим образом.

Спрос определяется: а) максимальной суммой, которую могут выделить потребители для своей покупки: x +x =200, где x =x = b /p₁ = b /p₂=100 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )=10000;

б) минимальной суммой, которую необходима для наименьшего потребления продукта, в x +x =140, где x =x = b /p₁=b /p₂=70 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )=7000.

Предложение вытекает из того, что каждая фирма может изготовить не более x =b_q/a_q=125, q=1,2 единиц товара или с учетом стоимости p_qx =6250. Это, с одной стороны, несколько больше, чем минимальная потребность одного потребителя, но меньше минимальной суммы потребностей обоих потребителей, т. е. 3500=b ≤p_qx ≤ p_q(x +x )=7000,

а с другой, сумма x +x =250 и ее стоимость p_q(x +x ) превышает максимальные потребности финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм оба потребителя.

Следовательно, в модели (7.1.1)-(7.1.5) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение модели рынка. Математическая модель рынка с двумя производителями и двумя потребителями (модель 2*2) введенными параметрами представим в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X) = 10x₁ + 10x₂, max f₂(X) = 10x₃+ 10x₄, (7.6.1)

min f₃(X) = 50x₁ + 50x₃ , min f₄(X) = 50x₂+ 50x₄}, (7.6.2)

при ограничениях 3500 ≤50x₁+50x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50x₂+50x₄ ≤ 5000,(7.6.3)

40x₁+ 40x₂ ≤ 5000, 40x₃+ 40x₄ ≤ 5000,(7.6.4)

x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (7.6.5)

Для решения векторной задачи (7.6.1)-(7.6.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные во второй части. Эти методы будут использоваться при решении векторных задач с равнозначными критериями и при заданном приоритете критерия.

Моделирование поведения всех производителей и потребителей с учетом их целенаправленности выполним с помощью решения векторной задачи (7.6.1)-(7.6.5) в целом, т. е. с четырьмя критериями.

Решения векторной задачи (7.6.1)-(7.6.5) при равнозначных критерияхпредставим в виде последовательности шагов.

Шаг 1. Решается задача (7.6.1)-(7.6.5) по каждому критерию отдельно.

Критерий 1. max: X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=37.5, x₄=37.5},

f₁(X )=1250, f₂(X )=750, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000,

min: X ={x₁= 7.5, x₂= 7.5, x₃= 62.5, x₄=62.5},

f₁(X )=150, f₂(X )=1250, f₃(X )=3500, f₄(X )=3500.

Критерий 2. max: X ={x₁=37.5, x₂= 37.5, x₃= 62.5, x₄= 62.5},

f₁(X )=750, f₂(X )=1250, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000,

min: X ={x₁= 62.5, x₂=62.5, x₃= 7.5, x₄= 7.5},

f₁(X )=1250, f₂(X )=150, f₃(X )=3500, f₄(X )=3500.

Критерий 3. min: X ={x₁=35.0, x₂=50.0, x₃=35.0, x₄= 50.0},

f₁(X )=850, f₂(X )=850, f₃(X )=3500, f₄(X )=5000,

max: X ={ x₁=50.0, x₂=50.0, x₃=50.0, x₄= 50.0}.

f₁(X )=1000, f₂(X )=1000, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000.

Критерий 4. min: X ={x₁=50.0, x₂= 35.0, x₃=50.0, x₄= 35.0}.

f₁(X )=850, f₂(X )=850, f₃(X )=5000, f₄(X )=3500,

max: X ={x₁= 50.0, x₂=50.0, x₃= 50.0, x₄= 50.0}.

f₁(X )=1000, f₂(X )=1000, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000.

Экономическая сущность решения векторной задачи (7.6.1)-(7.6.5) на первом шаге состоит в том, что каждому участнику рынка предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при расчете учитываются только их ограничения и определяются их оптимальные возможности. В результате решения получим оптимальные решения f =f_k(X ), k= - цели, к которым стремится каждый участник рынка, K=4.

Результат - оптимальные объемы продукции, которые в принципе может выпустить первый и второй производитель, и купить первый и второй потребитель.

Шаг 2. Выполняется стандартная нормализация критериев:

Анализ результатов решения, полученных по каждому критерию, выполним на основе нормализации: l_k(X )=(f_k(X )-f )/(f -f ), q, k =1,2,3,4.

l₁(X )=1.0, l₂(X )=0.545, l₃(X )=0.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.545, l₂(X )=1.0, l₃(X )=0.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.632, l₂(X )=0.632, l₃(X )=1.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.632, l₂(X )=0.632, l₃(X )=0.0, l₄(X )=1.0

Экономическая сущность решения векторной задачи (7.6.1)-(7.6.5) на втором шаге состоит в том, что цели каждого участника рынка по числовой величине выравниваются. В результате решения получим нормализованные цели l =l_k(X )=1 (100%), "kÎК, к которым стремится каждый участник рынка.

Шаг 3. Построение l-задачи. Она примет вид:

l^o = max l, (7.6.6)

при ограничениях

l - (p₁x₁ + p₂x₂ - f₁(X ))/(f₁(X )-f₁(X )) £ 0, (7.6.7)

l - (p₃x₃ + p₄x₄ - f₂(X ))/(f₂(X )-f₂(X )) £ 0,

l - (p₁x₁ + p₃x₃ - f₃(X ))/(f₃(X )-f₃(X )) £ 0,

l - (p₂x₂ + p₄x₄ - f₄(X ))/(f₄(X )-f₄(X )) £ 0, (7.6.8)

3500 ≤ p₁x₁ + p₃x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ p₂x₂ + p₄x₄ ≤ 5000, (7.6.9)

a₁x₁ + a₂x₂ ≤ 5000, a₃x₃ + a₄x₄ ≤ 5000, x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (7.6.10)

Экономическая сущность решения l-задачи (7.6.6)-(10.50) состоит в том, что l-задача устремляет критерии (относительные оценки) всех четырех участников рынка к своему оптимуму l =1, k= .

Шаг 4. Решение l-задачи (7.6.6)-(7.6.10).

Результат решения при равнозначных критериях:

l^o = 0.60714. X^o ={x₁= 40.893, x₂= 40.893, x₃= 40.893, x₄= 40.893}.

f₁(X^o) = 163.572, f₂(X^o) =163.572, f₃(X^o) = 817.858, f₄(X^o) = 817.858,

l₁(X^o) = 0.60714, l₂(X^o) =0.60714, l₃(X^o) =0.60714, l₄(X^o) =0.60714.

Выполняются условия l^o ≤ l_q(X^o), q=1,2,3,4, а в соответствии с теоремой 3 [81] все критерии противоречивы. Любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.