Между поставками товаров

Рассмотренные выше модификации исходной модели предполагали, что выплаты издержек за хранение товара реализуются либо пренумерандо (т.е. в начале периода поставки), либо постнумерандо (т.е. в конце периода поставки). В общем случае такие выплаты могут осуществляться, как уже отмечалось выше, и по другим схемам. Далее в этом пункте рассмотрим (в кратком изложении) модификацию исходной анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их в середине периода времени между поставками партии товара (для среднего хранимого объема товара в течение периода времени между поставками). В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом T_об/2 (середина интервала общих поставок). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом:

• уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) –

C₀+ åC_опi ×q_i + åC_пi ×q_i

• уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) –

åC_hi ×q_i×Т_об/2

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов F_mod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид:

F_mod ® max

где

F_mod = [ åq_i×(C_пi+P_пi- C_hi×T_об /2) - (1+r×T_об /2)×(C₀+åq_iC_опi+åq_iC_пi)],

причем, как и ранее, q_i и T_об связаны равенствами T_об = q_i /D_i.

Раскрывая скобки в выражении для F_mod, избавляясь при этом от параметров q_i (с учетом равенств T_об = q_i /D_i), а также меняя знак всего выражения на противоположный и отбрасывая члены, не содержащие интересующий нас параметр Т_об оптимальной стратегии (для оптимизации длительности периода времени между общими заказами) перепишем задачу оптимизации в виде

.

Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение Т_об^*(mod) длительности периода времени между общими поставками для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов:

Т_об^*(mod) = .

Соответственно для оптимальных значений q_i^*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем

q_i^*(mod) = D_i × Т_об^*(mod).

Полученная формула для Т_об^*(mod) обобщает соответствующую известную классическую формулу. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r =0), то в этом случае формулы для Т_об^*(mod) и Т_об⁰ совпадают. В общем случае, когда формула для Т_об^*(mod) является обобщением формулы для Т_об⁰. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Т_об^*(mod), приведут к меньшим объемам партии заказа (в частности, и меньшим размерам i-заказов в партии поставок) и соответственно к более частым поставкам.

Для оценки соответствующего расхождения и иллюстрации возможностей повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости издержек/доходов при анализе оптимальной стратегии управления запасами в рамках такой модификации модели управления запасами обратимся к условиям рассмотренного выше примера.

ПРИМЕР 7. 4. (Продолжение примера 7.2: выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа). Найдем соответствующую оптимальную стратегию в рамках указанной модификации модели с учетом временной стоимости денег. В соответствии с представленной выше формулой, определяющей оптимальную длительность периода времени между общими поставками, имеем:

Т_об^*(mod) = = = 0,0405

(напомним, что для удобства сравнения результатов с аналогичными для классической модели, но без учета временной стоимости денег, в рамках нашего примера ранее было условно принято С_оп=0, причем было уже определено, что = 24 400 и = 122 000).

При этом для интенсивности доходов (обозначим ее через F_max(mod) ), соответствующей оптимальной стратегии в рамках модифицированной модели получаем:

F_max(mod) =122+61–24,4×0,0405/2 –(1+0,2×0,0405/2)×(0,04 / 0,0405+122) =

= 59,02 (тыс. у.е./год)

А при стратегии, использующей соответственно показатели q_i⁰ и Т_об⁰ в рамках рассматриваемой модификации модели для интенсивности доходов (обозначим ее через F⁰(mod)) имеем:

F⁰(mod) =122+61–24,4×0,05726/2–(1+0,2×0,05726/2)×(0,04 /0,05726+122) =

= 58,9 (тыс. у.е./год)

Как видим, разница F_max (mod) - F₀(mod) в интенсивности потока доходов (годовой) за счет учета временной структуры процентных ставок для модифицированной модели имеет тот же порядок, как и аналогичная разница F_max - F₀ в рамках ранее рассмотренной исходной модели. А именно, здесь она снова имеет порядок 120 (у.е./год) по анализируемой группе товаров. Суммарный эффект по всей номенклатуре товаров (если такая номенклатура измеряется сотнями или даже тысячами наименований) будет весьма существенным.

Дополнительно, подчеркнем следующее. Найденные значения параметров q_i^*(mod) и Т_об^*(mod), характеризующих оптимальную стратегию для модифицированной модели, практически совпадают с аналогичными для модели с выплатой издержек хранения пренумерандо(q_i^* и Т_об^*) и для модели с выплатой издержек хранения постнумерандо (q_i^*(пост) и Т_об^*(пост)). Нетрудно проверить, что такое совпадение не обуславливается атрибутами именно рассмотренного примера. Таким образом, в практических ситуациях при нахождении параметров оптимальной стратегии для многономенклатурных моделей управления запасами с учетом временной стоимости денег удобнее использовать более простые формулы, найденные применительно к модификации модели с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа, т.е. формулы для q_i^*(mod) и Т_об^*(mod),

Результаты представленного здесь исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории модели оптимальных стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок и временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. Учет особенностей конкретных схем выплат издержек хранения мало влияет на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек. Поэтому, в практических ситуациях параметры оптимальной стратегии для многономенклатурных моделей управления запасами с учетом временной стоимости денег удобнее находить по более простым формулам, относящимся к соответствующей модификации модели с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа. Суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов по всей имеющейся номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным.