Между поставками товара

Рассмотренная выше исходная модель предполагала, что выплаты издержек за хранение товара реализуются пренумерандо (т.е. в начале периода поставки). Далее в этом пункте рассмотрим (в кратком изложении) модификацию исходной анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их в середине периода времени между поставками товара. В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом T_об/2 (середина интервала между поставками). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом:

• уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) –

C₀+ åC_опi ×q_i + åC_пi ×q_i

• уходящие платежи/потери (соотносимые с серединой каждого периода) –

å(C_hi +r_З×C_Пi)×q_i×Т_об/2

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов F_mod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид:

F_mod ® max

где

F_mod = [ åq_i×(C_пi+P_пi – (C_hi + r_З×C_Пi )×T_об /2) - (1+r×T_об /2)×(C₀+åq_iC_опi+åq_iC_пi)],

причем, как и ранее, q_i и T_об связаны равенствами T_об = q_i /D_i.

Раскрывая скобки в выражении для F_mod, избавляясь при этом от параметров q_i (с учетом равенств T_об = q_i /D_i), а также домножая на 2 и меняя знак всего выражения на противоположный, причем отбрасывая члены, не содержащие интересующий нас параметр Т_об оптимальной стратегии (для оптимизации длительности периода времени между общими заказами) перепишем задачу оптимизации в виде

.

Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение Т_об^*(mod) длительности периода времени между общими поставками для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов:

Т_об^*(mod) = .

Соответственно для оптимальных значений q_i^*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем

q_i^*(mod) = D_i × Т_об^*(mod).

Полученная формула для Т_об^*(mod) обобщает представленную в начале главы формулу, соответствующую традиционному подходу к управлению запасами без учета временной стоимости денег. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r =0), то в этом случае формулы для Т_об^*(mod) и Т_об⁰ просто совпадают. В общем случае, когда формула для Т_об^*(mod) является обобщением формулы для Т_об⁰. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Т_об^*(mod), приведут к меньшим размерам партии заказа и соответственно к более частым поставкам.

Для оценки соответствующего расхождения и иллюстрации возможностей повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости издержек/доходов при анализе оптимальной стратегии управления запасами такой модификации модели обратимся к условиям рассмотренного выше примера.

ПРИМЕР 8.3 (продолжение примера 8.2 для модифицированной модели). Найдем оптимальную стратегию в рамках модифицированной модели с учетом временной стоимости денег. Для этого воспользуемся представленной выше формулой, позволяющей сразу определить соответствующую оптимальную длительность периода времени между общими поставками:

Т_об^*(mod) = = = 0,033059

(напомним, что ранее в примере 8.2 было условно принято С_оп=0, причем было уже определено, что = 48800 и = 122000). При этом для интенсивности доходов (обозначим ее через F_max(mod) ), соответствующей оптимальной стратегии в рамках модифицированной модели имеем:

F_max(mod) =183 – 48,8×0,033059/2 –(1+0,2×0,033059/2)×(0,04 / 0,033059+122) =

= 58,6 (тыс. у.е./год)

А при стратегии, использующей соответственно показатели q_i⁰ и Т_об⁰ в рамках рассматриваемой модификации модели для интенсивности доходов (обозначим ее здесь через F⁰(mod)) имеем:

F⁰(mod) =183 –48,8×0,04049/2–(1+0,2×0,04049/2)×(0,04 /0,04049+122) =

= 58,51 (тыс. у.е./год)

Как видим, разница F_max (mod) - F₀(mod) в интенсивности потока доходов (годовой) за счет учета временной структуры процентных ставок для этой модифицированной модели оказывается того же порядка, как и аналогичная разница F_max - F₀ в рамках ранее рассмотренной исходной модели (при выплате издержек хранения пренумерандо): 90 (у.е./год) по анализируемой группе товаров. Суммарный эффект по всей номенклатуре товаров (если такая номенклатура измеряется сотнями или даже тысячами наименований) будет весьма существенным.

Наконец, подчеркнем следующее. Сравнивая найденные значения параметров q_i^*(mod) и Т_об^*(mod), характеризующих оптимальную стратегию для модифицированной модели (выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа), с аналогичными для исходной модели (q_i^* и Т_об^*, - при выплате издержек хранения пренумерандо), легко видеть, что в рамках рассмотренного примера они практически совпадают. Нетрудно проверить, что такое совпадение не обуславливается атрибутами именно этого рассмотренного примера.

ОСОБЕННОСТИ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК

ХРАНЕНИЯ В КОНЦЕ ИНТЕРВАЛА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

Теперь дополнительно рассмотрим (также в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо, т.е. в конце каждого периода времени хранения товара. Соответственно уходящие денежные потоки будут представлены в виде:

· уходящие платежи, соотносимые с началом периода между поставками –

C_о + ∑C_опi·· q_i+ ∑C_пi ·q_i;

· уходящие платежи/потери, соотносимые с концом периода между поставками –

∑(C_hi + r_З ×С_Пi)× q_i · Т_об /2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через F_пост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандно с учётом временной стоимости денег принимает вид:

F_пост ® max ,

где

,

причём, как и ранее, величины q_i и T_об связаны равенствами Т_об =q_i /D_i. Заметим также, что здесь выплаты ∑(C_hi + r_З ×С_Пi)× qi · Т_об /2(относящиеся к концу периода между поставками) продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Т_об/2 с учётом соответствующего значения дисконта d = r/(1+r).

После несложных преобразований интересующая нас задача оптимизации легко приводится к виду

(в представленных ранее обозначениях), который, практически, полностью соответствует задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной выше исходной модели при выплате издержек хранения пренумерандо. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с исходной моделью (выплаты этих издержек пренумерандо) отражается аналитически только наличием дополнительного множителя -1/(1+r) в слагаемом, содержащем Т_об² . Легко видеть, что при этом также будут иметь место неравенства

q_i^*(пост) < q_i⁰ ,

Т_об^*(пост) < Т_об⁰,

где через q_i^*(пост) обозначено оптимальное значение размеров i-заказов в партии общей поставки, а через Т_об^*(пост) – оптимальное значение длительности периода времени между общими поставками в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения постнумерандо.

Кроме того, используя представленные выше (для исходной модели) методы определения параметров оптимальной стратегии управления запасами с учётом временной стоимости денег для анализируемого случая соответственно получаем следующее. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа q_i^*(пост) и оптимальный период поставок Т_об^*(пост) можно находить по формулам

q_i^*(пост) = Т_об^*(пост) ·D_i ,

Т_об^*(пост) = Т_об⁰ / Z_о (пост),

где

,

причём

.

Для сравнения параметров оптимальной стратегии, относящихся к случаю выплаты издержек хранения в конце периодов поставки (выплаты постнумерандо), с аналогичными, но относящимися к ранее представленным аналогам интересующей нас модели, вернёмся к условиям рассмотренного выше примера.

ПРИМЕР 8.4 (продолжение примеров 8.2 и 8.3: выплаты издержек хранения постнумерандо). Найдём в условиях рассмотренного выше условного примера соответствующую оптимальную длительность периода времени между общими поставками Т_об^*(пост) и оптимальные размеры заказов q_i^*(пост) i-товаров в партии общей поставки. А именно, для значения в этом случае имеем (напомним снова, что в рамках нашего примера ранее было условно принято С_оп= 0, причем было уже определено, что = 48800 и = 122000) :

(сравните со значением =0,0105 для случая выплат издержек хранения пренумерандо). Соответственно далее имеем =0,867 и z₀=1,2248. При этом (учитывая, что в рамках нашего примера Т_об⁰ = 0,04049, т.е., примерно, 15 дней) для основных параметров оптимальной стратегии управления в этом случае (после округления) имеем

T_об^*(пост) = Т_об⁰ / Z_о(пост) = = 0,033057 (или ≈ 12 дней)

q₁^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₁ =0,033057∙ 12000 ≈ 396 (ед. тов.)

q₂^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₂ =0,033057∙ 25000 ≈ 826 (ед. тов.)

q₃^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₃ =0,033057∙ 6000 ≈ 198 (ед. тов.).

Оценим также соответствующее отклонение показателей интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера при выплате издержек хранения постнумерандо для интересующих нас двух случаев:

1) при T =T_об^* = 0,033057 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2) при T = Т_об⁰=0,04049 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, которая использует показатели T_об^*(пост) и q_i^*(пост) для интенсивности доходов F_пост^* (годовой) имеем:

F_пост^* = 122 + 61 – ( 1+ 0,2×0,033057/2)×(0,04/0,033057+122)–

- (1- 0,2×0,033057/1,2·2)∙0,033057×48,8 / 2 = 58,6 (тыс. у.е./год)

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели Т_об⁰ и q_i⁰ для интенсивности доходов F_пост⁰ (годовой) имеем:

F_пост⁰ = 122 + 61 – (1+ 0,2×0,04049/2)×(0,04/0,04049+122)–

- (1- 0,2×0,04049/1,2·2)∙0,04049×48,8 / 2 = 58,51 (тыс. у.е./год).

Как видим, разница F_пост^* – F_пост⁰ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров для модели с выплатой издержек хранения постнумерандо имеет (как и для предыдущих моделей), практически, тот же порядок: 90 у.е. (за год). При этом, найденные значения параметров q_i^*(пост) и T_об^*(пост) оптимальной стратегии управления запасами для случая выплат издержек хранения постнумерандо также, практически, совпадают как с соответствующими параметрами q_i^* и Т_об^* для случая выплат издержек хранения пренумерандо (исходная модель), так и с параметрами q_i^*(mod) и Т_об^*(mod), характеризующими оптимальную стратегию управления запасами модифицированной модели (выплата издержек хранения в середине промежутка времени между поставками).

Заметим, что имеющиеся весьма незначительные расхождения будут, очевидно, соответствующим образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размеров заказов по i-товарам в общих партиях поставок до приемлемого целого значения. При этом расхождение с классическими рекомендациями, когда не учитывается временная стоимость денег (для параметров q_i⁰ и Т_об⁰ ), как видим, оказывается значительным.

Результаты представленных здесь исследований соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории подходы к оптимизации многономенклатурных моделей систем управления запасами, позволяющие учитывать потери, обусловливаемые «замороженными» в запасах денежными средствами, могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем (максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок и временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки, потери и доходы. Учет особенностей схем выплат издержек хранения в таких моделях мало влияет на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек.

В частности, приведенные выше простые формулы, определяющие параметры Т_об^*(mod) и q_i^*(mod) оптимальной стратегии для модифицированной модели (с выплатой издержек хранения в середине интервала времени между поставками) можно использовать (соответствующие расхождения нивелируются из-за необходимости округлений результатов для размеров заказов i-товаров в партии поставки до приемлемого целого значения) как для нахождения параметров оптимальной стратегии применительно к исходно рассмотренной модели, так и для нахождения параметров оптимальной стратегии при выплате издержек хранения в конце промежутка времени между поставками. Это позволит избежать неприятных процедур решения соответствующих кубических уравнений. При этом суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным.