Параметры оптимальной стратегии

В МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА

C ЕГО ПОКРЫТИЕМ ПРИ ПОСТАВКАХ

Избавляясь от Т в выражении для F (с учетом равенства Т = q /D ), после несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) целевая функция F = F(q) как функция переменной q приводится к виду

F(q) = D × (Р_П – С_0П) – С₀ × – ∙ (1 –γ)² – ∙γ²

– (C_П + P_П) × q ∙ (1 – γ)²×

(*)

ЗАМЕЧАНИЯ 1.

¨ Обратим внимание на то, что в граничной ситуации γ=0 (т.е. кода априори дефицит не планируется), как легко видеть из формулы (*), получаем для F(q) выражение, вполне аналогичное соответствующему выражению главы 2. Действительно, в этой ситуации, поскольку дефицит не планируется, то параметры оптимальной стратегии будут определяться соответствующими модификациями формул Уилсона с учетом временной стоимости денег:

¨ В другой граничной ситуации, когда γ=1 (т.е. когда априори планируются только такие поставки, которые будут лишь покрывать соответствующий дефицит), параметры оптимальной стратегии в невырожденном случае С_В > 0 также будут определяться соответствующими модификациями формул Уилсона, но уже без учета временной стоимости денег, причем «роль» издержек хранения в такой ситуации будут «исполнять» уже издержки дефицита С_В :

Продолжим анализ для невырожденного случая, когда C_h>0 и C_B>0.Опуская в

(*) слагаемое, которое не зависит от q, меняя знак целевой функции на противоположный и умножая при этом для удобства записи на 2, перепишем задачу оптимизации в виде

f(q) ® min,

где функция f(q) определяется равенством

f(q) = 2C₀ ×D/q + q×(1 – γ)² ∙[C_h + d(C_П+Р_П)]

+ q×γ²∙С_В .

При этом f(q) уже характеризует соответствующие потери в интенсивности потока доходов при конкретном выборе объема q партии заказа (из-за указанного выше «перехода» к противоположному знаку целевой функции).

Легко видеть, что при q→0 имеем f(q)→∞. Кроме того, если q→∞, то также f(q)→∞. Следовательно, минимум функции f(q) существует.

Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления запасами (в указанном случае), характеризующих точку минимума функции f(q), выпишем соответствующие условия первого порядка (∂f/∂q = 0 и∂f/∂γ = 0):

[С_h + d(C_П + Р_П)](1 – γ)² + С_В∙γ² – 2С₀D/q² = 0

С_В∙γ – [С_h + d(C_П + Р_П)](1 – γ) = 0.

Из второго равенства (∂f/∂γ = 0) легко находим:

γ = [С_h + d(C_П + Р_П)]/ [С_h + d(C_П + Р_П)+ С_В],

1 – γ = С_В / [С_h + d(C_П + Р_П)+ С_В].

Соответственно из первого равенства для условий первого порядка (∂f/∂q = 0) получаем

Как видим, условия первого порядка дают единственное решение для оптимальной стратегии. При этом в силу замечания это и есть интересующая нас точка, максимизирующая показатель интенсивности потока доходов при планировании дефицита. Окончательно, подставляя в найденное выражение для q соответствующие формулы для γ и 1 – γ определяем оптимальное значение размера заказа q^* для стратегии планирования дефицита с учетом временной стоимости денег:

При этом имеет место следующее.

q Оптимальное значение для уровня максимально допустимого дефицита (S^*) составляет

.

q Оптимальное значение γ^* доли времени наличия дефицита определяется приведенным выше выражением для γ.

q Оптимальное значение (1-γ^*) доли времени наличия запасов определяется приведенным выше выражением для (1-γ).

q Оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов определяется пропорцией

.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для вырожденного случая, когда С_В = 0, т.е. издержки дефицита отсутствуют, как легко видеть из (*), оптимальное значение для параметра γ будет определяться его граничным значением γ=1. Соответственно, все уточнения для величины периода повторного заказа и для размера заказа при оптимальной стратегии будут совпадать с приведенными в начале этой главы применительно к модели планирования покрываемого при поставах дефицита без учета временной стоимости денег.

СРАВНЕНИЕ С ТРАДИЦИОННЫМИ РЕКОМЕНДАЦИЯМИ

(БЕЗ УЧЕТА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ)

Для сравнения с представленным в начале главы результатом модели планирования дефицита (покрываемого при очередной поставке) в невырожденном случае, но для ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается, обратим внимание на следующее. При r=0 (соответственно и d=0) все атрибуты и параметры полученного оптимального решения соответствуют представленным выше известным традиционным рекомендациям (см., также например, книгу [А.П.Долгов, В.К.Козлов, С.А,Уваров «Логистический менеджмент фирмы». – СПб.: Изд. Дом «Бизнес-пресса», 2005. –384с.]). При этом для ситуации, когда временная стоимость денег учитывается (т.е. при r>0 и соответственно d>0), расхождение с такими традиционными рекомендациями модели планирования дефицита становятся очевидными. В частности, оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов при учете временной стоимости денег оказывается более предпочтительным для промежутков наличия дефицита. Это легко видеть из приведенной выше формулы, определяющей отношение γ^*/(1- γ^*). Соответственно изменятся и рекомендации для параметров S^* и q^* (см. приведенные выше формулы). А именно: полученные в этой работе формулы для q^* и S^* очевидным образом иллюстрируют следующий факт. При учете временной структуры процентных ставок (r > 0) оптимальный размер заказа для стратегии планирования дефицита должен быть меньшим, чем этого требует общепринятая формула для этого показателя (см., например, указанную выше книгу) на основе традиционных рекомендаций. Кроме того, оптимальное значение максимально допускаемого дефицита, в свою очередь, должно быть большим, чем этого требует соответствующая общепринятая формула для такого показателя на основе указанных традиционных рекомендаций.

Для иллюстрации предложенного алгоритма нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели планирования дефицита (с учетом временной стоимости денег), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов) рассмотрим следующую условную ситуацию.

ПРИМЕР 6.1. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации поставок некоторого товара, максимизирующая чистый приведенный доход для соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей 20%. При этом требуется дополнительно учесть, что анализируется стратегия, допускающая дефицит такого товара (с его покрытием при очередной поставке). Необходимые в рамках указанного анализа параметры – следующие:

§ D = 10 000 (ед. тов.) – объем годового потребления товара;

§ C₀ = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара;

§ С_П = 100 (у.е.) – цена единицы соответствующего товара;

§ Р_П = 40 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

§ С_h = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара;

§ С_В = 20 (у.е.) – издержки из-за дефицита на единицу товара за год.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, как и в других рассмотренных ранее примерах, полагаем C_0П = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах принимаем r = 0,2 и следовательно d = 0,1(6) .

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и для традиционной модели (без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего, заметим, что применительно к традиционному аналогу модели планирования дефицита (с его покрытием при очередной поставке товара) без учета временной стоимости денег по известным формулам [1] имеем:

o соответствующее оптимальное значение q₀ размера партии заказа будет определено как

q₀ = = = 200 (ед. тов.);

o соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов (т.е. отношение γ₀ /(1- γ₀) ) будет определен как

= = ,

т.е. как 1:1;

o соответствующее оптимальное значение максимально допустимого дефицита (S₀) будет определено как

S₀ = = =100 (ед. тов.).

Найдем соответствующие параметры оптимальной стратегии планирования дефицита с учетом временной стоимости денег. А именно:

§ для оптимального размера партии заказа q^* с учетом временнойстоимости денегпо формуле для q^* получаем

q^* = = 171 (ед. тов.),

а не 200 ед. тов., если временную стоимость денег не учитывать;

§ для оптимального баланса длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов с учетом временной стоимости денег имеем

= = 2,1(6) ,

т.е. длительности указанных промежутков относятся как 2,1(6):1, а не как 1:1, если временную стоимость денег не учитывать;

§ соответственно для оптимального значения максимально допустимого дефицита с учетом временной стоимости денег имеем

S^* = = 117 (ед. тов.),

а не 100 ед. тов., если временную стоимость денег не учитывать.

Как видим, учет временной структуры процентных ставок серьезно изменяет традиционно рекомендуемые значения указанных параметров стратегии управления запасами. А именно, – рекомендации на основе традиционных формул без учета временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера обусловили следующее:

1) завысили объем заказа на 17%;

2) занизили значение максимально допустимого дефицита на 14,5%;

3) занизили значение оптимального показателя доли времени допустимого дефицита для интервалов между поставками товара на 22,2%, что обусловило нарушение оптимального баланса для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов на 53,8%.

Найдем теперь соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов, обусловливаемое отсутствием или наличием учета временной структуры процентных ставок. Для этого определим указанные интенсивности в следующих случаях.

Случай 1. При учете временной стоимости денег и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q^* для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при q= q^* ) имеем:

F(q^*) = 10000×40 – 20×10000/171 ––20∙171×0,5²/2–20∙171×0,5²/2

– (100+40)∙171×0,5² ×0,1(6) /2 = 397477 ( у.е./год)

Случай 2. Если временную стоимость денег не учитывать и поставлять товар партиями соответствующего объема q₀ = 200 (в рамках традиционных рекомендаций), то для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при q= q₀ ) имеем:

F(q₀) = 10000×40 – 20×10000/200 – 20×200×0,5²/2 –20×200×0,5²/2 –

– (100+40)×200×0,1(6) × 0,5²/2 = 397416 ( у.е./год).

Как видим, интенсивность потока доходов с учетом временной структуры процентных ставок возрастает (для анализируемого вида товара) примерно на 60 у.е./год. Это – соответствующий экономический эффект в единицах показателя интенсивности потока доходов, который дает процедура учета временной стоимости денег применительно к логистическим процессам анализируемой в этом примере системы управления запасами, причем применительно только к одному виду номенклатуры, для которого были проведены соответствующие расчеты. Таким образом, суммарная выгода за счет учета временной структуры процентных ставок при большой номенклатуре товаров (по всей группе товаров) может оказаться весьма существенной.

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ДЕФИЦИТА БЕЗ ЕГО ПОКРЫТИЯ ПРИ ПОСТАВКАХ В МОДЕЛЯХ УПРАВЛЕНИЯ