Анализ при выплате издержек хранения пренумерандо

Пусть далее знак S обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины рассматриваемых денежных потоков, очевидно, определяются следующим образом:

· уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) —

C₀ + SC_0Пi × q_i + S C_Пi × q_i + S C_hi × q_i ×T_об /2 ;

подчеркнем, что здесь слагаемое C₀ учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объемов i-товаров в поставляемой партии заказа ; слагаемое åC_0Пi × q_i учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объемов i-заказов; слагаемое åC_Пi × q_i учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии i-заказов; наконец, слагаемое å C_hi ×q_i ×T_об /2 представляет издержки хранения на периоде поставки по всей группе товаров, которые, как уже отмечалось выше, соотносим с началом периода поставки, то есть в рамках рассматриваемой модели соответствующие выплаты принимаются пренумерандо;

· приходящие платежи (соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками) —

å(C_Пi + Р_Пi)× q_i ;

подчеркнем, что здесь С_Пi × q_i - «возвращенная» стоимость партии i-заказа после реализации соответствующего товара, а P_Пi × q_i - соответствующая прибыль.

ЗАМЕЧАНИЕ. При равномерном спросе возврат стоимости партии заказа (с соответствующей прибылью), естественно, реализуется по каждому i-товару также равномерно в течение всего периода времени между соседними общими поставками. Поскольку в рамках рассматриваемой здесь модели для учета временной стоимости денег (доходов/издержек) принимается схема начисления простых процентов, то нетрудно видеть, что, не ограничивая общности, можно соотносить, как уже указывалось и было принято выше, момент ²прихода² всей соответствующей денежной суммы å(C_Пi + Р_Пi)×q_i именно с серединой интервала между общими поставками.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ

УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Подчеркнем, что классический подход к оптимизации стратегий управления запасами в рамках интересующей нас здесь модели предполагает нахождение такой стратегии, при которой минимизируются суммарные (годовые) издержки на доставку и хранение товаров. Далее, в отличие от классического подхода, задача оптимизации стратегии управления запасами рассматривается именно как соответствующая задача максимизации показателя интенсивности потока доходов (или прибыли). Показатель интенсивности потока доходов для систем управления запасами рассматриваемого типа удобно ввести (используя соответствующий периодический характер рассматриваемых денежных уходящих и приходящих потоков с периодом Т_об), по аналогии с моделями главы 2, следующим образом.

Как уже было отмечено выше, при анализе денежных потоков по всей интересующей нас номенклатуре товаров уходящие платежи для модели выплат издержек хранения по схеме пренумерандо на каждом периоде времени между поставками мы соотносим с моментом начала такого периода, а приходящие платежи - с его серединой (см. рис. 7.2). Разность между соответствующими приходящими и уходящими платежами (с учетом процедур наращения суммы для уходящих платежей к моменту Т_об/2 при заданной ставке наращения r как этого требуют правила финансового анализа)определяет доход (или прибыль) на одном периоде времени между общими поставками, причем этот доход соотнесен именно с серединой такого интервала. Зная значение указанного дохода, после домножения его на 1/Т_об , получаем показатель интенсивности потока доходов: доход за единицу времени (в единицах измерения Т_об). При этом, чем больше значение этого показателя, тем больше и суммарная наращенная к концу года прибыль при заданной ставке наращения и заданных годовых объемах поставок для анализируемой номенклатуры товаров.

Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов по всей группе товаров в рамках рассматриваемой модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции ( обозначаем ее через F) :

F ® max ,

где

F = 1/T_об × [å q_i (C_Пi + P_Пi) – (1 + r T_об /2) (C₀ + åC_0Пi q_i + åC_Пi q_i +

+å C_hi q_i T_об /2)],

в области Т_об > 0, причем, q_i и T_об связаны равенствами Т_об = q_i /D_i .

Здесь, как это требуется принципами финансового анализа, соответствующие платежи уже приведены к общему моменту времени. А именно, они приведены к середине периода поставок, в связи с чем уходящие (в начале такого периода) платежи наращены с учетом ставки r к моменту T_об /2. При этом , напомним, что в соответствии с принятыми выше обозначениями параметр Т_об измеряется в годах, так что соответствующую размерность имеет и представленный здесь показатель F интенсивности потока доходов. Его легко приводить к любой другой удобной единице времени. Действительно, учитывая принятую в рамках анализируемой модели схему начисления простых процентов (для учета временной стоимости денег) и выбранный способ представления эквивалентного результирующего денежного потока (соотнесение его с моментами, соответствующими серединам интервалов времени между общими поставками), легко видеть, что если, например, показатель интенсивности потока доходов необходимо привести к суткам, то следует соответственно значение F дополнительно домножить на 1/n, где n - число рабочих дней в году. Наличие такого множителя не повлияет на процедуры определения интересующих нас параметров оптимальной стратегии управления в представленной выше задаче оптимизации.

СРАВНЕНИЕ С КЛАССИЧЕСКИМ ВАРИАНТОМ МОДЕЛИ

Сравним анализируемую модель с классическим её аналогом, в рамках которого не учитывается временная стоимость денег (например, условно принимается, что r = 0) и, кроме того, затраты С_0Пi на поставку единицы i-продукции принято включать в её стоимость (т.е. условно принимается, что С_0Пi = 0). Для этого рассмотрим соотвествующий (обозначим его через F₀) частный вид приведенной выше целевой функции F для случая r = 0 и С_0Пi = 0 (с учетом равенств Т_об = q_i /D_i ). Тогда соответствующая задача оптимизации принимает вид

F₀ (Т_об ) ® max ,

где

F₀ (Т_об ) = å D_i (C_Пi + P_Пi) –

Опуская первое и третье слагаемые (не зависящие от выбора длительности периода времени Т_об между поставками), заменяя знак целевой функции на противоположный и раскрывая скобки получаем эквивалентную задачу оптимизации:

® min .

Легко видеть, что полученная задача оптимизации (как частный случай поставленной выше задачи максимизации интенсивности доходов для рассматриваемой модели системы управления запасами) полностью эквивалентна задаче минимизации издержек в рамках классической многономенклатурной модели управления запасами с постоянным спросом. При этом оптимальные объемы или размеры i-заказов q_i^о (экономичные размеры i-заказов) определяются равенствами, известными как модификации соответствующей формулы Уилсона:

q_i^о = D_i × Т_об^о ,

причем оптимальное значение Т_об^о длительности периода времени между общими поставками составляет

.