Формирование оптимального управления в соответствие с принципом максимума Понтрягина. Решение краевой задачи

Цель работы:знакомство с решением различных краевых задач на примере формирования оптимального управления в соответствие с принципом максимума Понтрягина.

Введение. Данная задача заключается в поиске такой управляющей функции и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений, на которых некоторый функционал достигает минимального значения. В зависимости от исходной системы применяют тот или иной метод.

Постановка задачи.

Предполагаем, что управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений

t

(5.1)

с начальными условиями

(5.2)

Здесь: - n - мерная функция своих аргументов

- n- мерный вектор, характеризующий состояние управляемого процесса в момент времени ,

- r - мерный вектор управляющих воздействий (из некоторого заданного класса функций),

Как известно, задача синтеза управления заключается в построении таких управляющих воздействий, при которых выполняется совокупность ограничений на состояние процесса, например, по времени переходного процесса, по величине максимального перерегулирования и т.п.

Задача же оптимального управления заключается в отыскании таких управляющих воздействий, при которых управляемый процесс будет наилучшим в некотором смысле. При этом для оценки качества управляемого движения вводится функционал .

В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера

, (5.3)

где t₁ – заданное конечное время управления. В рассматриваемом случае начальное состояние считается заданным, а - свободным, т.е. рассматривается задача со свободным правым концом. Оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (3) находится в соответствии с принципом максима Понтрягина. Для этого вводится функция

, (5.4)

где - правые части уравнений движения (1), - множители Лагранжа, удовлетворяющие уравнениям

(5.5)

с граничными условиями

(5.6)

Исходная система (1), (2) может быть представлена в виде

, (5.7)

, (5.8)

- заданные величины.

В соответствие с (5.3) – (5.8) функция при фиксированных является функцией управления и ее можно исследовать на минимум или максимум.

Будем говорить, что удовлетворяет условию максимума функции H, если при фиксированных для любого времени t выполняется условие

(5.9)

Тогда справедливо следующее утверждение.

Если управление доставляет минимум функционалу (5.3), то оно удовлетворяет условию максимума (5.9), где определяются из системы уравнений (5.5)- (5.8) при управлении , найденном из условия максимума (5.9).

Из формулировки принципа максимума следует, что он является необходимым условием абсолютного минимума. Принцип максимума, сформулированный академиком Понтрягиным Л.С. , позволяет получить замкнутую систему уравнений (5.4) – (5.9) для определения оптимального управления и соответствующего ему решения.

Следует отметить, что в соответствие с принципом максимума задача минимизации функционала сводится к решению краевой задачи, что представляет собой основную трудность. Важно отметить, что существуют две способа решения краевой задачи, т.е. получения в соответствии с управлением u₀ (t) . Простое решение краевой задачи существует, если управлением u₀ (t) не зависит от множителей Лагранжа. Более сложное решение – если есть такая зависимость.