Модель международной торговли (модель обмена)

Модель международной торговли (модель обмена) предназначена для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Рассмотрим ситуацию стран – участниц торговли с государственными бюджетами соответственно. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Введем в рассмотрение структурную матрицу торговли:

, где часть госбюджета, которую j-я страна тратит на покупку товаров i-й страны. Сумма элементов матрицы S в каждом столбце должна быть равна единице.

После подведения итогов за некоторый период страна получит выручку . Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

(7.7)

На самом деле все неравенства в (7.7) должны выполняться как точные равенства. Это следует из теоремы:

Теорема об условиях бездефицитной торговли[1]. Условием бездефицитной торговли являются равенства

(7.8)

В матричной форме соотношение (7.8) выглядит следующим образом:

, (7.9)

что является частным случаем уравнения

. (7.10)

Отсюда следует, что вектор бюджетов является собственным вектором структурной матрицы торговли , а соответствующее собственное значение этой матрицы равно 1.

Согласно (6.8) и (6.9), необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (7.10) является условие существования решения уравнения

. (7.11)

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (7.11), то получится многочлен степени n относительно называемый характеристическим уравнением матрицы . Отсюда вытекает, что собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения.

Таким образом, для того чтобы найти вектор бюджетов , необходимо и достаточно отыскать собственный вектор структурной матрицы торговли , соответствующий единичному собственному значению этой матрицы.

Пример 7.3. Пусть задана структурная матрица торговли трех стран есть . Это означает, в частности, что страна С₁ тратит половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, ¼ бюджета – на товары из С₂, оставшуюся часть бюджета – на товары из С₃. Требуется найти вектор бюджетов стран, гарантирующий бездефицитную торговлю всех стран.

Решение. Уравнение для отыскания собственного вектора матрицы согласно (7.9) имеет вид

,

откуда получаем систему линейных уравнений

Эта система имеет бесконечное множество решений. Взяв за свободную переменную , нетрудно найти общее решение:

.

В качестве собственного вектора можно взять вектор . В частности, это означает, что сбалансированность торговли рассмотренных трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении

.

Задачи

7.1.В таблице 7.2 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.2

Отрасли	Объемы взаимных потреблений	Валовый выпуск
Отр.1	Отр.2
Отр.1
Отр.2

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта первой отрасли в 2 раза, а второй отрасли - на 20%.

7.2. В таблице 7.3 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.3

Отрасли	Объемы взаимных потреблений	Валовый выпуск
Отр.1	Отр.2	Отр.3
Энергетика (Отр.1)
Машиностроение (Отр.2)
Транспорт (Отр.3)

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта в отрасли Машиностроение (Отр.2) вдвое при условии, что другие конечные продукты сохранятся на прежнем уровне.

7.3. В таблице 7.4 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.4

Отрасли	Объемы взаимных потреблений	Валовый выпуск
1. Станкостроение
2. Энергетика
3. Машиностроение
4. Автомобилестроение
5. Нефтегазовая отрасль

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для того чтобы конечный продукты станкостроения и отрасли «добыча и переработка углеводородов» остались на прежнем уровне, а конечные продукты всех других отраслей увеличились в 1,5 раза.

7.4. Восстановить элементы балансовой таблицы 7.5

Таблица 7.5
Отрасли	Объемы взаимных потреблений	Валовый выпуск
Отр.1	Отр.2
Отр.1
Отр.2

при условии, что структурная матрица и вектор конечного продукта заданы и равны: ; .

7.5. Структурная матрица экономики трех отраслей имеет вид:

.

Определить равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости будет равен .

7.6. Пусть в условиях задачи 7.5 вектор валового выпуска равен . Найти равновесные цены, при которых норма добавленной стоимости 1-й отрасли вырастет на 2, а в других отраслях не изменится.

7.7.В таблице 7.6 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.6

Отрасли	Объемы взаимных потреблений	Валовый выпуск
Отр.1	Отр.2	Отр.3
Отр.1
Отр.2
Отр.3

Найти равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости равен . Найти суммарную стоимость S конечных продуктов.

7.8.Восстановить элементы балансовой таблицы 7.7

Таблица 7.7
Отрасли	Конечный продукт	Цены	Нормы добавленной стоимости
Отр.1
Отр.2

при условии, что структурная матрица и вектор валового выпуска заданы и равны: ; .

ОТВЕТЫ

1.2. ; ; ; .

1.3. ; . 1.4. ; .

1.5. ; . 1.6. ; ; .

1.7. ; .

1.8. а) ; .

б) ; .

1.9. ; ; ; ; ; ; ; ;

1.10. ; ; ;

; ; .

1.11. а) ; б) .

1.12. а) ;

б) .

1.13. а) ; ;

б) ; ;

в) ; .

1.14.

1.15. а) , б) , в) ,

г) , д) .

1.16. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) при четном n, при нечетном n; е) .

1.17. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

1.18. , где . 1.19. ; , где .

1.20. а) i-я и j-я строки произведения поменяются местами;

б) к i-й строке произведения прибавится j-я строка, умноженная на ;

в) i-й и j-й столбцы поменяются местами;

г) к i-му столбцу произведения прибавится j-й столбец, умноженный на .

1.21. а) , б) , в) .

1.22. , .

1.23. , . 1.24. , , .

1.25. а) ; б) ; в) ; г) .

1.27. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) ;

ж) , .

1.28. а) ; б) ; в) ;

г) . 1.29. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.30. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.31. а) ; б) .

1.32. a) положительно определена; б) положительно определена; в) отрицательно определена; г) отрицательно определена.

2.1. а) 18; б) 14; в) –38; г) 23; д) –7. 2.2. а) ; б) ; в) ; г) .

2.3. а) 1; б) 1; с) . 2.4. . 2.5. .

2.6. . 2.7. а) –2; б) –14; в) 4; г) 0. 2.8. а) 68; б) 0; в) 2; г) 0. 2.9.а) –108; б) 0; в) 180; г) 72. 2.10. а) ; б) ; в) ;

г) .

2.11. а) ; б) ; в) 0.

2.12. а) ; б) ; в) .

2.13. а) ; б) ; в) 0.

2.14. а) ; б) .

2.21. а) ; б) ; в) . 2.22. .

2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. ; 1. 2.27. . 2.28. .

2.30. а) 0; б) 48; в)133. 2.31. а) 0; б) 12; в) 900. 2.32. а) 6; б) .

2.33. а) ; б) ; в) .

2.34. а) ;

б) ; в) .

2.35. а) 394; б) 665; в) 640. 2.36. а) 21280; б) 100. 2.37. . 2.38. . 2.39. . 2.40. . 2.41. . 2.42. 1. 2.43. .

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. .

3.24. , если , и , если . 3.25. при любом .

3.26. при и при ; при ;

при .

3.30. У матрицы А единственным базисным минором является минор второго порядка ; у матрицы В – четыре : ; у матрицы С – шесть: ; у матрицы D – два: .

4.1. а) , б) , в) , г) .

4.2. а) , б) , в) , г) .

4.3. а) , б) , в) .

4.4. а) , б) .

4.5. а) б) . 4.6. а) , б) ,

4.7. а) , б) .

4.8. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ; д) , .

5.1. . 5.2. . 5.3. .

5.4. . 5.5. . 5.6. .

5.7. . 5.8. Линейно независима. 5.9. Линейно зависима. 5.10. Линейно независима. 5.11. Линейно независима. 5.12. Линейно зависима. 5.17. . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 5.21. Ни при каких .

5.22. , . 5.23. , .

5.24. , . 5.25. , , .

5.26. , , , .

5.27. , , , .

5.32. . 5.34. . 5.35. .

5.36. а) (1/2, 0, 1/2); б) (1, –1/2, 1/2).

5.37. . 5.38. –13. 5.39. а) , б) , в) .

5.40. а) (–3, 5, 7); б) (–6, 10, 14); в) (–12, 20, 28). 5.41. а) 24; б) 24; в) 24.

5.44. 6. 6.1. . 6.2. . 6.3. .

6.4. . 6.5. .

6.6. , , , .

6.7. , , , .

6.8. , , , .

7.1. . 7.2. ; ; .

7.3.

7.4.	Отрасли	Отр.1	Отр.2	Вал
Отр.1	8,16	2,16	16,32
Отр.2	1,63	12,95	21,58

7.5. . 7.6. .

7.7. , .

7.8	Отрасли	Кон. продукт	Цены	Нормы доб. стоимости
Отр.1		8,42
Отр.2		12,10

ЛИТЕРАТУРА

1.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 224 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц, 2-е изд. – М.: Наука, 1976. – 352 с.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 432 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2010. – 560 с.

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989.– 665 с.

6. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник. 5-е изд. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. МАТРИЦЫ……………………………………………………………............. 1.1. Определения……………………………………………………………. 1.2. Операции над матрицами…….………………………………………... 1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы………… 1.4. Числовые функции от матриц………………………………… 1.5. Задачи………………………………………………………... 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ…………………………………………………………. 2.1. Понятие определителя и его свойства……………………………. 2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу……………………………………… 2.3. Задачи…………………………………………………………………… 3. РАНГ МАТРИЦЫ………………………………………………………… 3.1. Основные понятия и примеры…………………………………… 3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы…………………………………… 3.3. Методы поиска ранга матрицы…………………………………… 3.3.1. Метод окаймляющих миноров…………………………………………. 3.3.2. Метод элементарных преобразований…………………………………. 3.4. Задачи……………………………………………………………. 4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА…………………………………………………... 4.1. Основные сведения ……………………………………………….. 4.2. Методы поиска обратной матрицы………………………………… 4.2.1. Метод союзной матрицы……………………………………………….. 4.2.2. Метод элементарных преобразований…………………………………. 4.3. Задачи……………………………………………………………… 5. ВЕКТОРЫ……………………………………………………………….. 5.1. Операции над векторами…………………………………………….. 5.1.1. Алгебраические операции над векторами………………………… 5.2. Линейная независимость и базис векторов………………………. 5.3. Геометрическая интерпретация векторов………………………... 5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства…………... 5.3.2. Многомерные пространства……………………………………….. 5.4. Задачи……………………………………………………………. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ……………………………………. 6.1. Основные сведения …………………………………………….. 6.2. Преобразование базиса……………………………………………. 6.3. Характеристические числа и векторы……………………………. 6.4.Задачи…………………………………………………………………... 7. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ…………… 7.1. Балансовая модель Леонтьева…………………………………….. 7.2. Модель равновесных цен………………………………………….. 7.3. Модель международной торговли (модель обмена) ……………. 7.4. Задачи……………………………………………………………….. ОТВЕТЫ…………………………………………………………………. ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………...

Отпечатано на участке оперативной полиграфии

редакционно-издательского отдела ТГУ

Заказ №____ от «___» ______2011 г. Тираж _____экз.