Задача о процентном арбитраже

Занятие № 18

Теория игр

Задача об опционах

Для покупки – продажи акций компании дилер использует опцион в операциях спрэд медведя и обратный спрэд медведя:

Спрэд медведя	цена	премия	Обратный спрэд медведя	цена	премия
Покупка «колл»			Покупка «пут»
Надписание «колл»			Надписание «колл»

На момент исполнения контракта прогнозируются следующие состояния рынка ценных бумаг:

Состояние рынка	Стоимость акций, тыс. д.е.	Вероятность
R1		0.3
R2		0.5
R3		0.2

Дилер может использовать операции СМ и ОСМ и купить 10 акций.

Определить стратегию дилера, обеспечивающую ему наибольшую прибыль.

Решение:

Произведем предварительные расчеты.

Пусть стоимость акций на рынке будет 55 тыс. д.е., тогда при произведении операции спрэд медведя дилер имеет право купить акции за 40 тыс. Он воспользуется своим правом, т.к. рыночная стоимость больше. При этом он обязан продать акцию за 50 тыс. Т.к. рыночная стоимость 55 тыс., то контрагент потребует продать акцию за 50. Следовательно, прибыль составит: - 40 – 5 + 50 + 4 = 9. Если будет выбрана операция обратного спрэд медведя, то правом продать акцию за 45 тыс. дилер не воспользуется, однако выплатит премию за покупку опциона. Поскольку он обязан продать акцию за 40, то контрагент потребует продать, тогда дилер купит на рынке акцию для продажи контрагенту, за это получит премию 8 тыс. д.е.: - 5 – 55 + 40 + 8 = - 12.

Аналогично рассчитываем остальные прибыли. Результаты расчетов в таблице:

Состояние рынка	СМ	ОСМ
R1		-12
R2
R3	-1

Пусть дилер выберет три стратегии: 1-я – использовать только операции СМ, 2-я – использовать только операции ОСМ, 3-я – для покупки 4-х акций использовать операции СМ, а для оставшихся 6 акций – операции ОСМ.

Составим платежную матрицу игры:

	R1	R2	R3		min	max	Gi
С1			-10		-10
С2	-120				-120
С3	-36			16.8	-36		26,4
q	0.3	0.5	0.2		γ = 0.4

Ответ: дилеру следует использовать операции спрэд медведя для покупки опционов.

Задача о процентном арбитраже

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для этого на домашнем кредитном рынке было приобретено 200 000 российских рублей под 8% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 8,5% годовых, а на еврорынке 8,75% годовых. Соотношение курсов валют на начало и на конец месяца дано в таблице:

Валюта	Курсы валют по прогнозу на конец месяца	Курс валют на начало месяца
Евро	37,5	34,6
Доллар	30,5	32,4
Вероятность состояния рынка	0,65	0,35

Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при γ = 0,4) и Байеса.

Решение.

1-й игрок – руководство банка, 2-й (природа) – рынок валют. У первого игрока выделим 3 стратегии А₁ – разместить 200 тыс. руб. на еврорынке, А₂ – разместить все деньги на рынке США, А₃ – по 100 тыс. руб. разместить на обоих рынках. У природы будут две стратегии, соответствующие прогнозируемым состояниям рынка. Составим платежную матрицу:

	П1	П2
А1	14514,88	-2177,38
А2	-3165,32	9179,57
А3	5674,779	3501,094

Расчет элемента а₃₁:

1. Конвертируем 100 тыс. руб. в евро: 100 000 / 35 = 2857,14 евро.
2. Рассчитаем сумму, которую банк получит через месяц на еврорынке: 2857,14 * (1 + 8,75 / 1200) = 2877,97 евро.
3. Конвертируем в рубли: 2877,97 * 37,5 = 107923,87 руб.
4. Конвертируем 100 тыс. руб. в доллары: 100 000 / 31 = 3225,81 долл.
5. Рассчитаем сумму, которую банк получит через месяц на рынке США: 3225,81 * (1 + 8,5 / 1200) = 3248,66 долл.
6. Конвертируем в рубли: 3248,66 * 30,5 = 99084,13 руб.
7. Всего банка получит: 107923,87 + 99084,13 = 207008 руб.
8. Сумма, которую нужно вернуть через месяц: 200 000 * (1 + 8 / 1200) = 201333,33 руб.
9. Чистый доход от операции с процентным арбитражем: а₃₁ = 207008 – 201333,33 = 5674,68 руб.

Решим задачу при помощи критериев:

	П1	П2	Вальда	макс	Гурвица	Байеса
А1	14514,88	-2177,38	-2177,38	14514,88	7837,976	8672,589
А2	-3165,32	9179,57	-3165,32	9179,57	4241,613	1155,39
А3	5674,779	3501,094	3501,09	5674,77	4805,305	4913,99
макс	14514,88	9179,57	3501,09	14514,88	7837,976	8672,589
q	0,65	0,35

Критерий Сэвиджа:

Матрица рисков	макс
		11356,95	11356,95
R =	17680,2		17680,2
	8840,1	5678,475	8840,1
		мин	8840,1

Ответ: стратегия А₃ оптимальна.

Домашнее задание.

Задача об опционах

Для покупки – продажи акций компании дилер использует опцион в операциях спрэд медведя и обратный спрэд медведя:

Спрэд медведя	цена	премия	Обратный спрэд медведя	цена	премия
Покупка «колл»			Покупка «пут»
Надписание «колл»			Надписание «колл»

На момент исполнения контракта прогнозируются следующие состояния рынка ценных бумаг:

Состояние рынка	Стоимость акций, тыс. д.е.	Вероятность
R1		0,05
R2		0,15
R3		0,32
R4		0,21
R5		0,13
R6		0,14

Дилер может использовать операции СМ и ОСМ и купить 30 акций.

Выделить 6 стратегий, если покупка акций осуществляется в пропорции 0:5, 1:4, 2:3, 3:2, 4:1, 5:0.

Определить стратегию дилера, обеспечивающую ему наибольшую прибыль.

Задача о процентном арбитраже

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для этого на домашнем кредитном рынке было приобретено 5 млн белорусских рублей под 15% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 20% годовых, а на еврорынке 25% годовых. Соотношение курсов валют на начало и на конец месяца дано в таблице:

Валюта	Курсы валют по прогнозу на конец месяца	Курс валют на начало месяца
Евро
Доллар
Вероятность состояния рынка	0,35	0,25	0,4

Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при γ = 0,3) и Байеса.