Модель гибкого акселератора Койка

(Данный раздел основан на материале, предоставленном проф. Вереникиным А.О. Сбалансированность экономической системы: Микро- и макроаспекты. М.: ТЕИС. 2010. сс. 137–140).

Непрерывное время

Проиллюстрируем принцип акселерации простым числовым примером. Пусть величина капитального оборудования в 10 раз превышает стоимость реализованной продукции. Допустим, объем реализации – 6 млн. руб., то есть оборудование оценивается в 60 млн. руб. Пусть оно состоит из 20 машин разного возраста, причем ежегодно изнашивается и подлежит возмещению 1 машина. Значит, инвестиции (I) составят 3 млн. руб., или 1 машину; остаток Y–I, равный 6 млн. руб. дадут в сумме заработная плата и прибыль. Пусть выпуск возрастет до 9 млн. руб., то есть на 50 процентов. В таком случае потребуется объем основного капитала (K) в размере 30 штук, или 90 млн. руб. При этом инвестиции составят I=10+1=11, что будет означать их рост на 1000 процентов.

В непрерывном временимодель гибкого акселератора (Койка) описывается линейным дифференциальным уравнением[61]:

. (41)

Это так называемая система с запаздыванием. В ней скорость изменения переменной зависит от ее отставания по отношению к своему оптимальному значению. Здесь λ – это коэффициент ускорения, или акселерации:

Разделяем переменные в (41):

. (42)

Поскольку , то можно записать:

; (43)

а значит, . (44)

Потенцируем (44) и снимаем модуль адекватным подбором константы C₁ (допуская отрицательные и нулевые значения)

или . (45)

Определяем константу C₁ по значению запаса капитала в начальный момент времени

; . (46)

В итоге траектория динамики запаса капитала такова (рис. 11–12):

. (47)

Рис. 11

Рис. 12

Традиционно, в силу очевидных экономических соображений, полагается, что 0<λ<1.

Подставляя полученное выражение текущего запаса капитала (47) в модель гибкого акселератора (41), можно получить траекторию динамики инвестиций во времени

.

Дискретное время. В дискретном времени модель гибкого акселератора описывается конечно-разностным уравнением:

, (48)

или

. (49)

Выпишем соответствующее соотношение между запасами капитала в нулевом и первом периодах:

. (50)

С учетом (50) можно перейти от зависимости между капиталом во втором и первом периодах – к соотношению между фондами второго и нулевого временных интервалов:

. (51)

Аналогично, соотношение между запасами капитала в третьем и нулевом периодах будет выглядеть так:

.(52)

Соответственно, зависимость объема основных фондов в момент t от исходного запаса капитала таково[62]:

(53)

Данное решение можно получить также, используя теорию уравнений в конечных разностях[63]:

; . (54)

Решим соответствующее однородное уравнение

. (55)

Распишем соотношение (55) для всех периодов, начиная с нулевого и кончая моментом t:

,

,

…

.

Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение получим искомое решение однородного уравнения

. (56)

Проварьируем величину K₀:

. (57)

Уравнение (56) приобретает вид:

. (58)

Подставляем (58) в исходное неоднородное уравнение (54):

, (59)

или . (60)

Суммируя в пределах от до , получаем

. (61)

Подставляя полученную таким образом неизвестную величину в общее решение (58) однородного уравнения (55), получаем общее решение неоднородного уравнения (54)

. (62)

Определим константу :

; .

Таким образом, как и в теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .

При λ<0 и при λ>2 равновесие неустойчиво (при )

При 0<λ<2 равновесие устойчиво.

При λ=0 .

При λ=2 :

при t=2n ; при t=2n+1 .

Рис. 13

Поскольку оптимальный запас капитала зависит от реальной процентной ставки, инвестиции (41), (48) также будут являться функцией ставки процента (рис. 14).

Рис. 14. График функции инвестиционного спроса

Модель денежного потока. Подход, основанный на денежном потоке, исходит из того, что инвестиции определяются в первую очередь внутренним денежным потоком фирмы, и этот поток имеет большее значение для инвестирования, чем получение ссуд или эмиссия акций. Одна из версий такого подхода состоит в том, что оптимальный уровень капитала K* зависит не от уровня выпуска, как в модели акселератора, а от уровня прибыли или от будущих прибылей.

И. Грюнфельд предположил следующую спецификацию данной модели:

K_t*=α+βV_t, (63)

где V – рыночная стоимость фирмы, которая равна дисконтированной ценности ее будущих прибылей. Подставив данное уравнение (39), получим

I_t=μα+μβV_t+(δ–μ)K_t–1, (64)

Видно, что объем инвестиций зависит от рыночной стоимости компании. В других спецификациях переменная V заменяется на переменную прибыли или чистого денежного потока от операции с тем, чтобы подчеркнуть зависимость инвестиций от ликвидной позиции компании. Совокупный денежный поток, из которого фирма может черпать средства для инвестиций, включать, разумеется, и эмиссию акций и долговых обязательств. Однако сама способность привлечь внешнее финансирование зависит от чистого операционного потока, который может создать компания. Денежный поток, создаваемый фирмой, влияет как на оптимальный объем капитала K_t*, так и на скорость адаптации инвестиций и фактического объема капитала к оптимальному (μ). Чистый денежный поток от операций дефлируется на индекс цены новых элементов основных фондов:

I_t= a+b(F/J)_t+cK_t–1, (65)

где F – чистый денежный поток от операций, а J – индекс цен на инвестиционные товары.

В моделях денежного потока влияние налогов может учитываться как косвенно (при определении чистого денежного потока от операций, из которого исключаются уплаченные налоги), так и напрямую.

Модель денежного потока важна в том смысле, что многие компании не имеют доступа на фондовый и кредитный рынки. Поэтому они зависят от внутренних источников инвестиций, в первую очередь от ликвидности. И отечественные и зарубежные исследования компаний показывают высокую чувствительность их инвестиционных расходов к колебаниям внутреннего денежного потока.

Модель денежного потока показывает важность ликвидности экономики как фактора инвестиций. В отличие от других моделей она заставляет обратить внимание на такие аспекты, как скорость обращения денег, которая отражает, в частности, быстроту и своевременность платежей в экономике. Она указывает на важность эффективного функционирования кредитного и фондового рынка как условия реализации инвестиционных планов. При низкой ликвидности даже высокоприбыльные проекты могут оказаться нереализованными.

Данная модель достаточно близка неоклассическому подходу, о котором речь пойдет ниже.