Пример моделирования задачи по экономике с помощью дифференциальных уравнений

Рассмотрим применение экономико-математической модели на примере модели «инфляция и безработица».

Наиболее широко используемой концепцией в анализе проблемы инфляции и безработицы является соотношение Филлипса, которое устанавливает связь между темпом роста зарплаты и темпом роста безработицы

, ,

где ω – темп роста зарплаты

где , U — темп роста безработицы.

Введем обозначения для роста инфляции, т.е. темпа роста уровня цен, в виде

а производительность труда обозначим через Т.

Тогда будем иметь p = w -T . Считая, что уменьшение зарплаты происходит линейно в зависимости от роста безработицы, т.е. w = f (U) = a - bU ~ , имеем так называемое адаптированное соотношение Филлипса:

Позднее экономисты предпочли использовать другую форму соотношения Филлипса, получаемую при предположении, что темп роста зарплаты изменяется как w = f (U) + hp , где 0 < h £ 1 , а посредством p обозначен ожидаемый рост инфляции. Тогда вместо соотношения (1) получим следующий вариант соотношения Филлипса:

Примем гипотезу об ожидаемом темпе инфляции в виде:

Обозначая теперь номинальный денежный баланс через М и темп его возрастания через , постулируем, что k (m p),

где разность

- представляет собой темп роста реальных денег. Рассматриваемые совместно уравнения (2)—(4) описывают закрытую модель «инфляция — безработица» с тремя переменными (неизвестными) p, p,U . Ввиду того, что три неизвестные связаны соотношением (2), можно записать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Подставив (2) в (3) и (4) и приведя подобные члены, получим систему:

Далее, если мы продифференцируем по t первое из уравнений системы (5) и подставим затем в полученное выражение производные , опять же из системы (5), то после очевидных упрощений получим одно дифференциальное уравнение второй степени и с постоянными коэффициентами (6). Последнее уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением y

, которое описывает колебания маятника при наличии сопротивления среды и постоянной по величине возмущающей силы. Найдем общее решение дифференциального уравнения (6), которое состоит из общего решения однородного дифференциального уравнения (7) и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (6), в качестве которого очевидно следует взять p = m. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (7) имеет вид:

, (8) корни которого равны , ,

. В результате общее решение дифференциального уравнения (6) примет вид

Простой анализ полученной зависимости показывает, что при t ® ¥ ожидаемый темп инфляции p выходит на стационарный режим, при котором он становится равным т, т.е. темпу роста номинального денежного баланса. Полученное выражение (9) вместе с соотношением Филлипса (1) позволит экономистам более детально изучить колебания в динамической модели «инфляция — безработица», поскольку колебания математического маятника, которому, как мы убедились, она соответствует, полностью изучены и описаны во многих учебниках. Вот так путём не хитрых аналогий была связана модель математического маятника с моделью «инфляция-безработица». В заключении хотелось бы отметить, что в экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

^{Список литературы}

1) Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука, 2013.

2) Фёдоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М., Изд. МГУ, 2012.

3) Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М.: Мир, 2012.

4) Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 2013.

5) В.И. Кузнецов «Математическая модель эволюции леса», диссертация на соискание ученой степени кандидата физ-мат наук, М, 2013

6) Тузинкевич А.В. Интегральные модели пространственно-временной динамики экосистем. Владивосток: ДВО АН СССР, 2013

7) Гигаури А.А., Свирижев Ю.М. Распространение волны в системе ресурс – потребитель. ДАН СССР, т.258 (2012), №5, с.1274–1278

8) Козлов Н.И., Кузнецов В.И. Численное моделирование динамики лесных покровов. Препринт ИПМ РАН №59 М., 2012.

9)

10) Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. – М.: Экзамен 2012-192 с.

11) Амельктн В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 2012. – 160с.

12) Дифференциальные уравнения. Сборник задач. С.Г. Журавлёв, В.В. Аниковский. Москва: «Экзамен», 2005. – 127 с.

13) Справочник по высшей математике. М.Я. Выгодский. Москва: «Наука», 1975. – 872 с.

14) Справочник по физике. Законы и формулы физики. В.Е. Кузмичев. Киев: «Наукова думка», 1989. - 864 с.

15) Экономико-математическое моделирование. Колемаев В.А. Москва: «Юнити-Дана», 2005. — 295 с. 5. Экономико-математические методы и модели в управлении производством. Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Ростов-на-Дону: «Феникс», 2005. — 248 с.

16) http://economyar.narod.ru/Birulj.pdf