Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
Непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства Например,
соответствует числовой прямой,
– плоскости,
– обычному пространству трех измерений. Базис
в пространстве
называется прямоугольным, если векторы
перпендикулярны и имеют единичную длину. Аналогично, базис
в пространстве
называется прямоугольным, если векторы
попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Прямоугольные декартовы системы координат в
и
определяется расположением своих координатных осей вдоль векторов базисов
(рис. 5.1) и
(рис. 5.2)соответственно.
Длиной, или модулем вектора называется число
, если
и
– компоненты этого вектора в прямоугольной декартовой системе координат, что следует из теоремы Пифагора (рис. 5.1).
Рис.5.1. Модуль равен длине гипотенузы треугольника OPQ
В трехмерном пространстве длина вектора с компонентами будет равна
.
Рассмотрим трехмерное пространство . Каждому вектору
, то есть каждой упорядоченной тройке чисел
в этом пространстве соответствует точка с координатами
в прямоугольной декартовой системе координат или отрезок (вектор
), направленный в эту точку из точки начала координат. Отметим, что любому вектору в
или
можно сопоставить направленный отрезок не единственным способом. Действительно, в случае пространства трех измерений возьмем какую-нибудь точку В с координатами
и построим точку С с координатами
(рис.5.2):
Рис 5.2. Геометрическая интерпретация вектора
Направленный отрезок (вектор) с началом в точке В и концом в точке С имеет своими проекциями на координатные оси координаты вектора
, так что
. Если взять в качестве начала отрезка другую точку, то мы получим другое изображение того же вектора
(например на рис. 5.2 таким вектором является отрезок с началом в точке О и концом в точке А). Если начало вектора зафиксировано, то такой вектор называют связанным. В противном случае его называют свободным вектором или просто вектором. Таким образом, в геометрической интерпретации под термином вектор понимается любой элемент из множества отрезков фиксированной длины и одного и того же направления.
В результате сложения векторов и
получается вектор
, который может быть построен либо по правилу параллелограмма либо по правилу треугольника (рис. 5.3). При этом компоненты вектора
удовлетворяют соотношению
.
Рис. 5.3. Сложение векторов
Умножение вектора на число
дает вектор
того же направления, но в
раз длиннее. Если же
, то вектор
будет направлен противоположно. В любом случае
.
Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы называются компланарными, если их не меньше трех и все они лежат в одной плоскости. Расстояние между точками
и
полагается равным
. Для любых
справедливо неравенство треугольника:
, которое может интерпретироваться следующим образом: сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третей стороны.
Скалярным произведением ненулевых векторов и
в пространствах
и
называется число
, где
– угол между двумя ненулевыми векторами
и
. Если векторы
и
заданы координатами в прямоугольном базисе, причем
,
то скалярное произведение равно
. При этом
.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) вектора и
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
;
2) если – угол между двумя ненулевыми векторами
и
, то
;
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) ,
2). ,
3)
4) , причем равенство возможно лишь тогда, когда
5) (неравенство Буняковского).
Векторное произведение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от
к
и от
к
кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка
называется левой. Векторным произведением вектора
на вектор
называется вектор
, обозначаемый символом
, определяемый следующими тремя условиями:
– длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
;
– вектор перпендикулярен плоскости векторов
и
;
– упорядоченная тройка векторов правая.
Компоненты вектора в том же, что и векторы
и
, правом прямоугольном базисе, определяются выражениями
,
,
.
Свойства векторного произведения
1. ,
2. ,
3.
4. , если
и
коллинеарны,
5. .
Смешанное произведение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число
.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1. Если V– объем параллелепипеда, построенного на векторах , то
2. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия
.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, то есть:
.
Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе может быть записано в виде определителя:
.