Анализ дерева решений с количественными оценками последствий

Для анализа дерева решений привлекаются два вида величин: вероятности событий и оценки последствий принятых решений. В качестве последних во многих случаях выступают оценки той выгоды, которая может быть получена в результате принятых решений. Так, в рассматриваемом примере роль оценок последствий играют денежные суммы, выраженные в долларах.

Начнем с подсчета вероятностей. В нашем примере (см. рис. 2.1) надо вычислить вероятности, которые связаны с ветвями, исходящими из узлов случаев. Развитие дерева во времени идет слева направо, и следовательно, находясь в любом узле, мы имеем всю информацию о происшедшем ранее, но ничего не знаем о том, что произойдет впоследствии. Как и прежде, следуем от ствола дерева и выберем направление по одной из ветвей, например, по ветви d₁. Она ведет к узлу случаев, от него отходят ветви, соответствующие событиям a₁ и a₂, и поскольку обращение к брокеру здесь отвергнуто, то вероятности, характеризующие ветви, просто равны начальным (априорным) значениям, приведенным в табл. 1: p(a₁) = 0,6; p(a₂) = 0,4. То же можно сказать и о ветви d₂, в узле случая она расщепляется на две, одной из них приписана вероятность 0,6, а другой — вероятность 0,4 (см. рис. 4.1).

Рассмотрим теперь третью ветвь, отходящую от узла решения — ту, на которой написано “брокер”. После узла случая она разделяется на две, в соответствии с двумя возможностями: x₁ (совет “покупать”) и х₂ (совет “не покупать”). Какие вероятности характеризуют эти ветви? Находясь в этом узле случая, мы еще не знаем, какое из двух событий (а₁ или а₂) произойдет, поэтому нельзя использовать условные вероятности типа p(x₁/a₁) или p(x₁/a₂).

Обозначим вероятности ветвей, отходящих из узла случая, через p(x₁) и p(x₂). События x₁ и x₂ образуют полную группу, поэтому p(x₂)=1–p(x₁). Чтобы определить p(x₁), можно использовать формулу полной вероятности, которая примет вид:

р(х₁) = р(х₁/а₁)р(а₁)+р(х₁/а₂)р(а₂) = 0,7×0,6+0,3×0,4 = 0,56.

Получив значение р(х₁), найдем р(х₂): р(х₂) = 1 - р(х₁) = 0,44.

Таким образом, шансы получить от брокера совет “покупать”, составляют 56%, а шансы на то, что тот же самый брокер посоветует не покупать товар, равны 44%. Эти значения, как показывает рис. 2.1, характеризуют ветви х₁ и х₂, отходящие от узла случая.

Продвигаясь по ветвям х₁ и х₂, мы подходим к узлам решений, после каждого из них имеем разветвление, соответствующее альтернативе “покупать (решение d₁) или не покупать (решение d₂)”. Если совет брокера х₁ (покупать) принят, то нужно двигаться по ветви d₁, она приводит к узлу случая, после которого происходит расщепление, отвечающее событиям а₁ и а₂. Ветви этого расщепления характеризуются условными вероятностями р(а₁/х₁) и р(а₂/х₁). Последние показывают вероятности, соответственно, повышения и понижения цены товара на рынке, с учетом того, что брокер посоветовал купить товар и этот совет был принят. Это — апостериорные вероятности, так как они представляют собой переоценки первичных (априорных) вероятностей событий а₁ и а₂ после того, как произошло событие х₁ (получен и принят к действию совет “покупать”).

Вероятности р(а₁/х₁) и р(а₂/х₁) подсчитываются по формуле Бейеса:

р(а_i/x₁) = p(x₁/a_i)p(a_i)/p(x₁),

где i принимает значения 1 и 2.

Условные вероятности р(х₁/а_i) и р(х₂/а_i) обладают следующими свойствами:

р(х₁/а₁) + р(х₂/а₁) = 1, р(х₁/а₂) + р(х₂/а₂) = 1.

Таким образом:

р(а₁/х₁) = р(х₁/а₁)р(а₁)/р(х₁) = 0,7×0,6/0,56 = 0,75;

р(а₂/х₁) = р(х₁/а₂)р(а₂)/р(х₁) = [1–p(x₂/a₂)]·p(a₂)/p(x₁) =

= 0,35×0,4/0,56 = 0,25.

Теперь мы знаем апостериорные вероятности, которыми характеризуются ветви, отходящие от узла случая и соответствующие событиям а₁ и а₂ (правый верхний угол рис. 2.1). Пока мы рассмотрели только один узел случая, к которому подходит ветвь d₁. Ко второму узлу случая подходит ветвь d₂, однако после разветвления в узле мы имеем те же два события а₁ и а₂, апостериорные вероятности которых будут равны уже вычисленным величинам — 0,75 и 0,25.

Полученные данные показывают, что оценка вероятности повышения цены товара возросла с 60 до 75%, что является результатом обращения к брокеру и получения от него совета “покупать”. Существенно возросло отношение вероятностей повышения и понижения цены, теперь оно составляет 0,75/0,25 = 3, в то время как прежде оно было равно 0,6/0,4=1,5. Значительно снизился риск потери 1000 долларов — с 40 до 25%.

Проследим ветвь х₂ (совет “не покупать), которая после узла решения дает ветви d₁ и d₂. Последние подходят к узлам случаев и разветвляются на ветви а₁ и а₂, для которых надо оценить апостериорные вероятности р(а₁/х₂) и р(а₂/х₂). Как и ранее, эти вероятности вычисляются по формуле Бейеса:

р(а₁/х₂)=р(х₂/а₁)р(а₁)/(х₂)=[1-p(x₁/a₁)]p(a₁)/p(x₂)=0,3×0,6/0,44=0,41;

р(а₂/х₂)=р(х₂/а₂)р(а₂)/р(х₂)=0,65×0,4/0,44=0,59.

Итак, всем ветвям дерева приписаны соответствующие вероятности. Подчеркнем, что при вычислениях мы использовали основные свойства вероятностей (формулу полной вероятности, формулу Бейеса), поэтому полученные величины сходятся (являются когерентными). Сходимость величин выражается прежде всего в том, что сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице.

Следующий этап анализа дерева решений заключается в расчете оценок последствий решений, т.е. выгоды, получаемой при следовании по ветвям. В нашем случае эти оценки даются в виде денежных сумм, выражаемых в долларах. Они приведены на рис. 2.1 и характеризуют, во-первых, терминалы (конечные точки) рассматриваемого дерева и, во-вторых, все имеющиеся узлы. На рис. 2.1 даны четырехзначные оценки полезности последствий решений в долларах, причем на ветвях и на узлах дерева, образовавшихся после обращения к брокеру, к каждой оценке добавлена стоимость услуги брокера в виде отметки “минус t”.

Как рассчитываются показатели полезности последствий? Расчет начинается с терминалов дерева и направлен к его стволу, т.е. идет справа налево. При этом необходимо придерживаться следующего правила: для каждого узла случаев надо вычислять математическое ожидание показателя, а при подходе к узлу решений нужно проводить максимизацию приписанных к соответствующим ветвям значений показателя (т.е. просто брать наибольшее из них).

Начнем анализ с правого верхнего угла рис. 2.1. Здесь имеется узел случаев с двумя ветвями, у первой — вероятность 0,75 и показатель последствий 6000, у второй — вероятность 0,25 и показатель 4000 (пока не будем учитывать стоимость консультации брокера, т.е. величину t). Математическое ожидание показателя для этого узла составит 0,75·6000 + 0,25·4000 = 5500 долларов. Аналогичный подсчет для второго узла случаев (он находится под первым) даст 0,75·5000 + 0,25·5000 = 5000 долларов. Для третьего узла случаев получим 0,41·6000+0,59·4000=4800 долларов. Четвертый узел случаев (он замыкает вертикальный ряд узлов в правой части рис. 2.1) будет характеризоваться математическим ожиданием показателя, равным 5000 долларов.

Вернемся теперь к паре верхних узлов случаев, имеющих показатели 5500 и 5000. Ветвями d₁ и d₂ они соединяются с узлом решений, следовательно, здесь нужно провести максимизацию. Для этого из двух величин 5500 и 5000 — выбираем наибольшее и присваиваем это значение данному узлу решений. Ветвь d₂ оказывается, таким образом, непригодной, на рисунке это отмечено ее перечеркиванием. Подход ко второму узлу решений (он находится под только что рассмотренным) должен также сопровождаться максимизацией. Из двух значений — 4800 и 5000 — выбираем последнее и считаем его показателем этого узла. Следование по ветви d₁ полагаем нецелесообразным, на рис. 2.1 она перечеркнута.

По аналогии, проводя максимизацию, отбрасываем из двух нижних ветвь d₂ (она перечеркнута на рис. 2.1). Остается рассмотреть две величины 5280 и 5200, выбор одной из них зависит от стоимости услуги брокера. Именно теперь мы должны обратиться к величине t, о которой прежде умалчивали. В самом деле, теперь мы имеем оценки полезности последствий решений, одно из которых связано с обращением к брокеру (5280–t долларов), а другое означает инвестировать без консультаций с брокером (5200 долларов). Сейчас можно с уверенностью сказать, что обращаться к брокеру стоит только в том случае, если за свой совет он возьмет меньше 80 долларов. Мы получили эту величину как разницу между показателями ценности решений, показанными ветвями “брокер” и d₁, которые отходят от начального узла решений. Стало быть, если брокер запросит 50 долларов, то стоит консультироваться с ним, а если он потребует 100, то не стоит.

Итак, мы не только нашли путь снижения риска потери (в данной задаче — потери 1000 долларов), но также количественно оценили, во-первых, на сколько именно он снизится (в нашем случае — с 40 до 25%), и во-вторых, разумный предел дополнительных вложений (не более 80 долларов за совет брокера), которые обеспечат указанное уменьшение риска.

Тот факт, что анализ дерева рискованных решений ведется от его терминалов к стволу, означает, что первыми рассматриваются те события, которые произошли последними. А то, что совершилось первым, проанализировано последним. Оказывается, что это приводит к фундаментальному выводу. В случае задачи об инвестициях он состоит в следующем: мы не можем решить, обращаться ли к брокеру, до тех пор, пока мы не определили, насколько выгоден его совет. В общем виде это можно сформулировать так: мы не можем решить, что сделать сегодня, пока не знаем всех последствий возможных решений. Интуитивно люди (конечно, не все) так и поступают, но далеко не всегда.