Разработка прогнозов методом наименьших квадратов
Сущность метода состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии.
Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Так, если рост выпуска продукции ожидается в арифметической прогрессии, то сглаживание производится по прямой. Если же оказывается, что рост идет в геометрической прогрессии, то сглаживание надо производить по показательной функции.
Рабочая формула метода наименьших квадратов:
у t+1 = а*Х + b, (4)
где t + 1 – прогнозный период;
yt+1 – прогнозируемый показатель;
a и b - коэффициенты;
Х - условное обозначение времени.
Расчет коэффициентов a иbосуществляется по следующим формулам:
 |
где, Уф – фактические значения ряда динамики;
n – число уровней временного ряда;
 |
Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной. Ясно, что развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.
Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач предпрогнозного анализа.
Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле
S = 
, (7)
где yф – фактические значения ряда динамики;
yр – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики;
n – число уровней временного ряда;
р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд.
Недостатки метода наименьших квадратов:
1) изучаемое экономическое явление мы пытаемся описать с помощью математического уравнения, поэтому прогноз будет точен для небольшого периода времени, и уравнение регрессии следует пересчитывать по мере поступления новой информации;
2) сложность подбора уравнения регрессии. Эта проблема разрешима при использовании типовых компьютерных программ.
Оценка точности прогнозов, построенных методами
Экстраполяции
Точность прогноза – это важнейшая его характеристика. Существует несколько способов оценки точности прогнозов:
1) средняя абсолютная оценка:
Δ 
,(8)
где n – число уровней временного ряда;
2) средняя квадратическая оценка:
. (9)
Чем ближе к нулю первый и второй показатели, тем выше точность прогноза;
3) средняя относительная ошибка:
ε= 
(10)
Интерпретация значений средней относительной ошибки для оценки точности прогнозов:
| ε, % | Интерпретация |
| < 10 | Точность прогноза высокая |
| 10-20 | Точность хорошая |
| 20-50 | Точность удовлетворительная |
| > 50 | Точность неудовлетворительная |