Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей

Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224,а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника АВС (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник АВС проецируется в отрезок а'с' прямой линии, и точка k' будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения е'f' с а'с'. Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Види­мость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224,а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки k' проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости H этот участок видимый.

На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция k' точки К — точки пересечения прямой EF с плоскостью Р — будет находиться в точке пересечения проекции е'f' со следом плоскости Рv, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки K находят с помощью линии проекционной связи.

Рис. 224

Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения — прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция m'n' линии пересечения MN совпадает со следом Pv фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225,б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.

Рис. 225

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF — заданная прямая и 12 — построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке К.

Рис. 226

Нахождение проекций точки К показано на рис. 226,б. Построения выполняют в следующей последовательности.

Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след R_H совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.

Строят фронтальную проекцию 1'2' линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R_H плоскости R.

Определяют фронтальную проекцию k' искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1'2' линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.

Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226,б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К' прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.

Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z₁ > Z₅, точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.

Рис. 227

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227,а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая — параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.

На рис. 227,б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1'2' и 3'4 плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом Rv плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след Rv. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1', 2', 3', 4' до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки К, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе Rv.

Для построения второй точки, принадлежащей линии пересечения, проводят вторую вспомогательную плоскость Q. Для удобства построений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построения горизонтальных проекций линий пересечения плоскости Q с плоскостью треугольника АВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересечения 12 и 34, так как плоскость Q ║ R. Продолжив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l' точки L лежит на следе Q_v и строится с помощью линии проекционной связи. Соединив одноименные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.

Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежит обеим заданным плоскостям. Построим таким же образом вторую точку, можно найти линию пересечения двух плоскостей, так как для построения прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.

Рис. 228

Для данного построения берут одну из сторон треугольника и строят точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника. Если это не удается, берут другую сторону этого же треугольника, затем третью. Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.

На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость S и строят фронтальную проекцию 1'2' линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС. Фронтальная проекция 1'2' линии пересечения, пересекаясь с фронтальной проекцией e'f' прямой EF, дает фронтальную проекцию m' точки пересечения М. Горизонтальную проекцию m точки М находят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей заданных треугольников, - точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую ВС проводят фронтально-проецирующую плоскость R, и на плоскости H пересечение горизонтальных проекций прямой ВС и линии пересечения 34 дает точку n - горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проекция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольников определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдельно. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проекцией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.

Например, точки 5 и 6 - точки пересечения горизонтальных проекций bc и de. На фронтальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координаты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата Z₅, больше координаты Z₆. Следовательно, левее точки 5 сторона DE невидимая.

Видимость на фронтальной плоскости проекций определяю с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y₄ и Y₇ Так как Y₄>Y₇, сторона DE на плоскости V видимая.

Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольника точка пересечения может оказаться за пределами плоскости треугольника. В этом случае, соединив полученные точки, принадлежащие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим треугольникам.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие координаты точки определяют ее положение в плоскости V?

2. Что определяют координата Y и координата Z точки?

3. Как располагаются на эпюре проекции отрезка, перпендикулярного плоскости проекций Н? Перпендикулярного плоскости проекций V?

4. Как располагаются на эпюре проекции горизонтали, фронтали?

5. Сформулируйте основное положение о принадлежности точки прямой.

6. Как отличить на эпюре пересекающиеся прямые от скрещивающихся?

7. Какие точки называют конкурирующими?

8. Как определить, какая из двух точек видимая, если их проекции на фронтальной плоскости проекций совпали?

9. Сформулируйте основное положение о параллельности прямой и плоскости.

10. Какой порядок построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?

11. Какой порядок построении линии пересечения двух плоскостей общего положения?