Проекции трехмерной графики

В общем случае изображение, представленное множеством точек, определенное в системе координат размерностью N,отображается на множество точек, определенное координатным множеством с размерностью меньшим N.В рассматриваемом случае (3D графика), трехмерное множество отражается на множество с размерностью два. Проекция трехмерного изображения, рассматриваемого как множество точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, называемых проекторами, исходящих из точки, называемой центром проецирования. Проходя через каждую точку изображения объекта, и, пересекаясь с картинной плоскостью, они и образуют проекцию объекта. На рис. 5.4 и рис. 5.5 изображены два вида проекций. Определенные таким образом проекции известны под названием плоских геометрических проекций, поскольку проецирование в этом случае проводится на плоскость, а не на искривленную поверхность и качестве проекторов использованы прямые, а не линии иного порядка. Как видим, плоские геометрические проекции делятся на два основных класса: параллельные и центральные (перспективные). Различие между ними определяется соотношением между центром проецирования и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, проекция будет параллельной. Параллельные проекции так названы потому, что центр проецирования удален в бесконечность, а проекторы параллельны. При задании центральной проекции, центр проекции задается явно, а при параллельной проекции задается только направление проецирования.

Центральная проекция

Центральная проекция создает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводит фото-система или зрительная система и поэтому используется в тех случаях, когда желательно достичь определенной степени реальности. Во-первых, известно, что более удаленные объекты изображаются в относительно меньших масштабах, и это явление иногда называется перспективными сокращениями. Интенсивность перспективных сокращений зависит, при неизменном положении картинной плоскости, от заданной величины фокусного расстояния. При его уменьшении и одновременном приближении точки зрения к объекту эта интенсивность возрастает, одновременно возрастают и углы, под которыми части объекта видны при правильном (расчетном) рассматривании проекции. Возрастает и общий угол зрения - угол между лучами, проведенными в крайние точки изображений (объекта). При больших фокусных расстояниях и небольших углах зрения проекция становится похожей на аксонометрическую; при малых расстояниях и больших углах перспектива становится "резкой", появляются замечаемые глазом искажения. Углы между линиями объекта искажаются, размеры по глубине как бы утрируются. Учитывая это, точку зрения стремятся выбирать так, чтобы общий угол зрения не превышал 40-60°. Впрочем, в значительной степени подобные искажения кажущиеся. Дело в том, что классическая схема построения проекции предполагает не только правильное нанесение изображения, но и правильное (расчетное) его рассматривание. С учетом принятых масштабов мы должны рассматривать изображение из точки, соответствующей центру проецирования. При этом, если фокусное расстояние было небольшим мы соответственно должны приблизить глаз к картине.

Углы зрения, под которыми будут видны отдельные части объекта, восстановятся. Но, естественно, боковые части картины будем рассматривать под углом (глаз можно поворачивать, но нельзя двигать головой). Кажущиеся перспективные искажения на проекции будут компенсированы, если части изображения будут рассматриваться в определенных ракурсах. Обычная ошибка - когда изображения, построенные для больших углов зрения (так называемые широкоугольные), мы пытаемся рассматривать в мелком масштабе с гораздо более далекого расстояния.

Во-вторых, главная точка картины должна, как правило, размещаться где-то в средней части изображения, ведь картину рассматривают, располагая глаза где-то против ее средней части. Даже если мы смотрим на картину, укрепленную высоко на стене, стоя сбоку от неё, глаз "исправляет" изображение. Впрочем, в отдельных случаях - при росписи стен и сводов в архитектурных сооружениях, декораций в театре - от этого правила сознательно отступают.

В перспективных изображениях более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае на изображении непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной; построить такое изображение не очень просто, а по готовому изображению трудно определить размеры тех или иных частей объекта.

Параллельные проекции

По этой причине в проектировании, конструировании продолжают широко использовать параллельные проекции, которые разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости.

Вортографических параллельных проекциях эти направления совпадают, а косоугольных проекциях они не совпадают.

Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, сверху, сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования. Поскольку каждая проекция отображает лишь одну строну объекта, часто совсем непросто представить себе пространственную структуру проецируемого объекта, даже если рассматривать несколько проекций одного объекта вместе.

В случае аксонометрических проекций используются проекционные плоскости не перпендикулярные главным координатным осям, поэтому на них изображены сразу несколько сторон объекта, но в отличии от центральной проекции здесь укорачивание постоянно и сохраняется параллельность прямых, углы изменяются.

Каждый из этих двух классов проекций (центральная и параллельная) разбивается на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости, координатных осей, направления проецирования и нормали к картинной плоскости. На 5.7 показана классификация параллельной и центральной проекций.

Рассмотрим некоторые математические соотношения, определяющие получение проекции на картинную плоскость. При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна одной их них. Матрица проецирования вдоль оси X плоскость YOZ может быть записана в виде:

для случая x=0,

если же x=d, применяя преобразование сдвига, получаем преобразование проецирования вида

то есть, координатой точки на картинной плоскости при ортографическом режиме параллельного проецирования будет абсцисса x=d.

Аналогично для картинных плоскостей параллельных соответственно координатным плоскостям XOY и ZOX , при p ¹ 0 и q ¹ 0, где p и q сдвиг картинных плоскостей вдоль осей Z и Y (направление сдвига учитывается введением знака “-” при соответствующей величине), запишем

При аксонометрическом проецировании проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. При этом в зависимости от взаимного расположения плоскости проецирования и координатных осей имеем три варианта проекций:

· триметрио – нормаль к картинной плоскости образует с осями координат попарно различные углы;

· диметрио – два угла между нормалью к картинной плоскости и осями координат попарно равны;

· изометрио – все углы между нормалью к картинной плоскости и осями координат равны.

Каждая из трех определенных выше проекций получается конкатенацией поворотов, за которыми выполняется ортографическое проектирование, например, при реализации режима диметрио осуществляется поворот на угол f вокруг оси ординат и на угол j вокруг оси абсцисс, а затем проецирование вдоль оси Z