Математическое описание плоских геометрических проекций

Каждую из проекций можно описать матрицей 4´4. Этот способ оказывается удобным, поскольку появляется возможность объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования.

Центральная (перспективная)проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую двухмерную плоскость «наблюдения». Перспективная проекция на плоскость Z = 0 обеспечивается преобразованием

[X Y Z H] = [x y z 1]* = [x y 0 (rz+1)].

Рис. 6.15. Вычисление одноточечной перспективы

или x* = = ;

y* = = ;

z* = = ,

где r = .

Центр проекции находится в точке с координатами (0,0,-k) (рис. 6.15), плоскость проецирования Z = 0. Соотношения между x, y и x*, y* остаются теми же самыми. Рассматривая подобные треугольники, получим, что

= , или x* = ;

аналогично y* = .

Координаты x*, y* являются преобразованными координатами. В перспективном проектировании преобразованное пространство не является евклидовым, так как ортогональность осей не сохраняется. При k = ¥ получим аксонометрическое преобразование.

Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, сопровождаемых переносом.

Последний столбец в обобщенной матрице 4´4 должен быть равен:

,

в этом случае H = 1.

Перспективному преобразованию может предшествовать произвольная последовательность аффинных преобразований. Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью Z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяется перспективное преобразование.

Аналогично перспективное преобразование, когда картинная плоскость перпендикулярна оси Z и совпадает с плоскостью Z = 1/r. Центр проекции находится в центре координат:

[X Y Z H] = [x y z 1] * = [x y z (rz+1)] — одноточечная перспектива (точка схода Z);

— точка схода X.

Двухточечная (угловая) перспектива.Для получения двухточечной перспективы в общей матрице преобразования устанавливают коэффициенты p и q:

(x', y', z', 1) = (x, y, z, 1) =[x, y, 0, (px+qu+1)];

(x', y', z', 1) = .

Такое преобразование приводит к двум точкам схода. Одна расположена на оси X в точке ( , 0, 0, 1), другая на оси Y в точке (0, , 0, 1).

Рассмотрим это преобразование на получение проекции единичного куба (рис. 6.16).

A

D

I

G

E

F

B

C

x

А

B

F

E

C

G

I

D

y

x

z

Рис. 6.16. Единичный куб для получения двухточечной проекции

.

В результате получаем проекцию вида, представленного на рис. 6.17.

E',F'

A',B'

0,91

0,83

G',I'

C',D'

x

y

К точке схода на оси X

К точке схода на оси Y

Рис. 6.17. Двухточечная проекция единичного куба

=[x y z (px+qy+rz+1)] — трехточечная (косая) перспектива.

Для того чтобы создать диметрическую проекцию, необходимо выполнить следующее условие:

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ).

Одним способом выбора sinθ является сокращение оси Z в фиксированное число раз. При этом единичный вектор на оси Z, равный [0 0 1 1], преобразовывается к виду

[X Y Z H] = [sinφ -cosφ×sinθ cosφ×cosθ 1]

или x* = sinφ;

y*= - cosφ sinθ.

Таким образом, для диметрической проекции получаем

φ = 20,705°:

θ = 22,208°.

Для образования изометрической проекции нужно в одинаковое число раз сократить все три оси. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ) и sin²φ=(1-2sin²θ)/(1- sin²θ).

Таким образом,

φ = 35,26439°;

θ = 45°.

Рассмотрим теперь косоугольную проекцию(рис. 6.18), матрица может быть записана исходя из значений a и l.

Проекцией точки P(0,0,1) является точка P¢(l cosa, l sina, 0), принадлежащая плоскости xy. Направление проецирования совпадает с отрезком РР¢, проходящим через две эти точки. Это направление есть Р¢-Р = (l cosa, l sina, -1). Направление проецирования составляет угол b с плоскостью xy.

Теперь рассмотрим проекцию точки x, y, z и определим ее косоугольную проекцию (x_p y_p) на плоскости xy:

x_p = x + z(l cosa);

y_p = y + z(l sina).

Таким образом, матрица 4´4, которая выполняет эти действия и, следовательно, описывает косоугольную проекцию, имеет вид

М_кос= .

Рис. 6.18. Вычисление косоугольных проекций

Применение матрицы М_кос приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта: плоскости с постоянной координатой z = z₁ переносятся в направлении x на z₁ l cosa и в направлении y на z₁ l sina и затем проецируется на плоскость z = 0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z.

Для проекции Кавалье l = 1, поэтому угол b= 45°. Для проекции Кабине l=½, а b = arctg(2) = 63,4°. В случае ортографической проекции l = 0 и b = 90°, поэтому матрица ортографического проецирования является частным случаем косоугольной проекции.