Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Рассмотрим решение одной из таких задач.

Задача: Определить расстояние от точки М до прямой общего положения а (рис. 4-26).

Рис. 4-26

Алгоритм:

1 этап: Расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр. Поскольку прямая а - общего положения, то для построения перпендикуляра к ней необходимо решать задачу, аналогичную приведённой на стр. М4-4 данного модуля, то есть вначале через точку М провести плоскость S, перпендикулярную а. Задаём эту плоскость, как обычно, h Ç f, при этом h₁ ^ a₁, a f₂ ^ a₂

(рис. 4-27)

Рис. 4-27

2 этап: Для построения перпендикуляра необходимо найти для него вторую точку. Это будет точка К, принадлежащая прямой а. Для её нахождения нужно решить позиционную задачу, то есть, найти точку пересечения прямой а с плоскостью S. Решаем 1ГПЗ по третьему алгоритму (рис. 4-28):

- вводим плоскость - посредник Г, Г ^^ П₁, Г É а Þ Г₁ = а₁;

- Г Ç S = b, Г ^^ П₁ Þ b₁(1₁2₁) = Г₁, b Ì S Þ b₂(1₂2₂) Ì S₂.

- b₂ Ç a₂ = K₂ Þ K₁.

Рис. 4-28

3 этап: Находим натуральную величину МК методом прямоугольного треугольника

(рис. 4-29).

Рис. 4-29

Полное решение задачи показано на рис. 4-30.

Рис. 4-30

Алгоритмическая запись решения:

1. S ^ а, S = h Ç f = M, h₁ ^ a₁, f₂ ^ a₂.

2. Вводим плоскость - посредник Г,

- Г ^^ П₁, Г É а Þ Г₁ = а₁;

- Г Ç S = b, Г ^^ П₁ Þ b₁(1₁2₁) = Г₁, b Ì S Þ b₂(1₂2₂) Ì S₂.

- b₂ Ç a₂ = K₂ Þ K₁.

3. Находим натуральную величину МК.

Выводы:

1. Решение всех метрических задач сводится к решению первой основной метрической задачи - на взаимную перпендикулярность прямой и плоскости.

2. При определении расстояний между геометрическими фигурами всегда используется вторая основная метрическая задача - на определение натуральной величины отрезка.

3. Плоскость, касательную к поверхности в одной точке, можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к данной поверхности.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи называются метрическими?

2. Какие две основные метрические задачи Вы знаете?

3. Чем выгоднее задать плоскость, перпендикулярную прямой общего положения?

4. Как называется плоскость, перпендикулярная одной из линий уровня?

5. Как называется плоскость, перпендикулярная одной из проецирующих прямых?

6. Что называется плоскостью, касательной к поверхности?