Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости

Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Задача: Плоскость Sзадана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М₂ ) принадлежит плоскости.

Найти М_1.

Краткая запись условия задачи: S(а Ç b), М(М₂ )Î S; М₁ = ?

Рис. 2-3

Решение: Через точку М₂ (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую

kÌ S: k₂ Ç a₂ =1₂; k₂ Ç b₂ =2₂;

затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 1₁ и 2₁ проводим прямую k₁ и на ней, с помощью линии связи, находим точку М₁. И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.

Рис. 2-4

Прямая принадлежит плоскости, если она:

1. Проходит через две точки плоскости;

Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.

Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).

Точка М(М₁) принадлежит Г. Найти М₂.

М(М₁)Î Г(АВС). М₂ = ?

Рис. 2-5

Решение:

Через точку М₁ (рис.2-6) проведём прямую k, параллельную стороне треугольника АВ. Она пересечёт сторону АС в точке 1: k₁ || A₁ B₁ ; k­₁ A₁ Ç C₁ =1₁; с помощью линии связи найдём 1₂, проведём k₂ параллельно А₂В₂ ней найдём точку М₂:

Рис. 2-6

Алгоритмическая запись решения:

1₁Î A₁C₁ Þ 1₂Î A₂C₂; 1₂Î k₂, k₂ || A₂B₂; M₂Î k₂.

Как вы думаете?

Сколько решений имеет эта задача?

Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Имеется две группы таких плоскостей:

1. Проецирующие плоскости
2. Плоскости уровня

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей.

Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами.

Горизонтально проецирующая плоскость

Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г^^ П₁

(рис. 2-7а, 2-7б).

Графический признак:

Горизонтальная проекция Г₁ горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.

Например:

Г ^^ П₁ - горизонтально проецирующая плоскость.

Г^ П₁ Þ Г₁ - прямая линия, главная проекция.

Ðb - угол наклона плоскости Г к П₂.

Рис. 2-7а

Пространственный чертеж

Рис. 2-7б

Плоский чертеж