Геом задача повышенной сложности
Треугольники
Четырехугольники
Окружности
Комбинации
Треугольники
Задание 26 № 78
1.Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит площадь треугольника CKB равна и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак, Значит,
Ответ: 0,6.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.
Задание 26 № 311242
2.Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
Решение.
Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свойству биссектрисы. Значит,
Пусть S - площадь треугольника ABC, тогда
Таким образом,
Ответ: 36.
Критерии проверки:
Задание 26 № 340325
3.В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:
Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что
Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому
то есть откуда
Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 26 № 314829
4.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.
В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники подобны по двум углам, и
Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении секущей BD прямых AB и CD, равны, поэтому прямые AB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.
Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:
Ответ: 1,5.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 314841
5.Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
Решение.
Проведём отрезок параллельный вспомним, что точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит Аналогично — средняя линия треугольника то есть
Пусть площадь треугольника равна Рассмотрим треугольник он имеет общую высоту с треугольником и вдвое большее основание, следовательно его площадь равна Площадь треугольника равна и такую же площадь имеет треугольник поскольку они имеют одну высоту, проведённую из вершины и равные основания. Аналогично площадь треугольника равна площади треугольника а площадь треугольника равна площади треугольника
Подведём итог:
Отношение площади четырёхугольника к площади четырёхугольника
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 315070
6.Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.
Решение.
Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
Откуда Выразим площадь треугольника
Найдём отношение площади четрёхугольника к площади треугольника
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 314866
7.Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
Откуда Выразим площадь треугольника
Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 316361
8.Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Решение.
Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведём медиану и высоту Тогда
В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы поэтому
Следовательно,
Ответ: 15°, 75° .
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
Задание 26 № 333323
9.В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .
Решение.
Пусть — точка пересечения отрезков и (см. рис.). Треугольник — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому
; .
По свойству биссектрисы треугольника
Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда
Из подобия треугольников и следует, что Поэтому и Следовательно
;
;
Ответ: ; ;
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
Задание 26 № 339514
10.Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
Откуда Выразим площадь треугольника
Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 26 № 311252
11.Стороны треугольника равны соответственно. Точка расположена вне треугольника причем отрезок пересекает отрезок в точке, отличной от Известно, что треугольник с вершинами и подобен исходному. Найдите косинус угла если
Решение.
Рассмотрим подобные треугольники и и установим соответствие между их углами. —наибольшая сторона треугольника а значит, — наибольший угол треугольника Так как в треугольнике есть тупой угол то в треугольнике это угол Следовательно, угол треугольника не равен углу треугольника Он также не равен углу т. к. больше его (луч проходит между лучами и ). Следовательно, . По теореме косинусов в треугольнике имеем:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 26 № 340065
12.Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Решение.
Проведем построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Складывая два получившихся равенства, получаем:
Таким образом, периметр треугольника равен 1230.
Ответ: 1230.
Критерии проверки:
Задание 26 № 351296
13.Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 28, а площадь равна 98.
Решение.
Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведём медиану и высоту Тогда
В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы поэтому
Следовательно,
Ответ: 15°, 75° .
Задание 26 № 352418
14.В треугольнике на его медиане отмечена точка так, что . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника
Решение.
По свойству медианы, медиана делит треугольник на два равновеликих, т.е. . Из условия известно, что . Следовательно,
Ответ: 0,15
Задание 26 № 353377
15.Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 16.
Решение.
Проведем построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Складывая два получившихся равенства, получаем:
Таким образом, периметр треугольника равен 72.
Ответ: 72.
Ответ: 72
Задание 26 № 353380
16.В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.
Четырёхугольники
Задание 26 № 339388
1.Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Угол и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: Получаем:
Из прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора найдём
Ответ: 20.
-----------
Приведем другое решение:
Критерии проверки:
Задание 26 № 339373
2.Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Поскольку и получаем, что — параллелолограмм, следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные при параллельных прямых, углы и — аналогично, следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Откуда Аналогично подобны треугольники и откуда Пусть сторона ромба равна а длина короткой диагонали равна Сложим два полученных уравнения:
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 26 № 339398
3.Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой в точке Углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, следовательно, треугольник — равнобедренный: Найдём Углы и равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники и стороны и равны, углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда Проведём прямую параллельную Прямая параллельна прямая параллельна следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, откуда Найдём Рассмотрим треугольник заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник — прямоугольный, следовательно, — высота трапеции. Найдём площадь трапеции:
Ответ: 250.
Критерии проверки:
Задание 26 № 340359
4.Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому её оснований. Пусть тогда и Поскольку треугольники и подобны, их высоты и , проведенные соответственно к сторонам и относятся как 3:1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций и имеем:
Ответ: 5:27.
Критерии проверки:
Задание 26 № 341292
5.Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Пусть диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC = 2a, AD = 3a пересекаются в точке O, а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку O, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно (см. рис.).
Треугольник BOC подобен треугольнику DOA с коэффициентом поэтому треугольник AMO подобен треугольнику ABC с коэффициентом Значит, Аналогично, Следовательно, Пусть h1 и h2 — высоты подобных треугольников BOC и DOA, проведённые из общей вершины O. Тогда Следовательно,
Ответ: 44:81.
Критерии проверки:
Задание 26 № 311926
6.В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .
Решение.
По свойству равнобедренной трапеции следовательно, треугольники и равны. Так как = треугольники и равнобедренные, следовательно, и — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, Отрезок соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, и прямые и параллельны, поэтому, — трапеция. Проведём — высоту трапеции и — высоту трапеции