Деление отрезка в заданном отношении.

Точка принадлежащая отрезку прямой, делит его в таком же отношении, что и проекция данной точки делит проекцию отрезка.

На основании указанного свойства задача на деление отрезка в заданном отношении решается путем деления в этом отношении любой проекции отрезка. Знание этого свойства потребуется вам при решении задачи № 8 в Тетради.

Взаимное положение прямых в пространстве.

Рассмотрим взаимное положение прямых в пространстве : параллельные прямые,

пересекающиеся и скрещивающиеся.

Параллельные прямые.

Параллельные прямые - это прямые , лежащие в одной плоскости и никогда не пересекающиеся , сколько бы их не продлевали.

Параллельные прямые имеют параллельные одноименные проекции. Обычно по двум проекциям пары прямых можно сделать заключение о их параллельности,

однако если эти две прямые параллельны профильной плоскости проекций , то без рассмотрения третьей проекции прямых ничего утверждать нельзя.

С2 Z С3

В2 B3

D2 D2

А2 A3

X Y

А1 C1

В 2 D1

Y

Пересекающиеся прямые.

Это прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну точку пересечения.

Линии пересекающиеся в пространстве проектируются в виде пересекающихся проекций, причем проекции точки пересечения будут лежать на одной линии связи перпендикулярной оси Х.

К 2 a 2

b 2

Х

a 1

К1

b 1

Скрещивающиеся прямые.

Это прямые не параллельные и не пресекающиеся между собой. Эти прямые

не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости.

12

3 2 º 4 2

a 2 22 b2

X 1.2

4 1

b 1

a 1 1 1 º 2 1 31

На рисунке приведен чертеж скрещивающихся прямых a·b . Эти прямые не имеют общих точек лежащих на одной линии связи. В этом случае нас будет интересовать какая прямая проходит выше, а какая ниже или какая прямая ближе к наблюдателю, а как дальше.Для этого рассмотрим точки у которых горизонтальные (1,2) или фронтальный (3,4) проекции совпадают, а другие нет. Такие точки называются конкурирующими. Этими точками пользуются для определения видимости.

Например, если посмотреть на горизонтальную проекцию прямых не ясно какая

точка выше 1 или 2 ? Однако, достаточно провести линию связи на фронтальную проекцию и вы увидите, что точка 1 принадлежащая прямой bнаходится выше, следовательно прямая b проходит выше прямой а.

Воспользовавшись точками 3 и4 определим какая из прямых ближе к нам.

Проведя линию проекционной связи видим , что точка 3 принадлежащая прямой b

ближе к нам и соответственно дальше от фронтальной плоскости проекций , чем

точка 4. Умение определять какая точка принадлежащая прямой или плоскости видима потребуется для решения последующих задач.

Проецирование прямого угла.

Прямой угол между двумя пресекающимися прямыми проецируется в натуральный размер только в том случае , когда одна из сторон угла параллельна плоскости проекций. Если одна сторона прямого угла будет параллельна фронталь-

ной плоскости проекций , то прямой угол будет проецироваться в натуральный

размер на фронтальную плоскость проекций.

Это имеет очень важное значение при построениях на комплексном чертеже

1) прямых перпендикулярных к друг к другу;

2) прямой перпендикулярной к плоскости ;

3) взаимно перпендикулярных плоскостей.

И соответственно, если ни одна из сторон прямого угла не занимает положение

прямой уровня, то угол не будет проектироваться в натуральную величину.

Решить задачу нахождения натуральной величины угла, в таком случае можно преобразовав комплексный чертеж.

( Подробно ”О Свойствах проекций плоских углов” читайте параграф 58 Н.Г.

С.А. Фролов)

Преобразование комплексного чертежа .

(Первая и вторая основные задачи преобразования чертежа).

Преобразование чертежа используется при решении задач связанных с измерениями геометрических образов или их взаимным расположением. Всего существует четыре основных задачи преобразования чертежа, две из которых связаны с преобразованием прямой линии и две с преобразованием плоскости.

Сформулируем две первые основные задачи :

1) преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы заданная на

чертеже прямая общего положения стала прямой уровня.

2) преобразование комплексного чертежа так, чтобы заданная на чертеже

прямая уровня заняла проецирующие положение.

Рассмотрим решение первой задачи на примере преобразования чертежа способом введения новой плоскости проекций. Способ введения новой плоскости проекций мы

уже применяли когда рассматривали комплексный чертеж точки.

Теперь рассмотрим этот способ применительно к линиям.

Пусть мы имеем два пересекающихся отрезка прямых общего положения .

Проведем такую замену плоскости проекций , чтобы одна из прямых стала прямой уровня. Это позволит нам судить под каким углом (тупым, прямым или острым )

пересекаются прямые . Причем, если этот угол не прямой, то для его измерения не достаточно будет одной замены плоскости проекций. В этом случае нам

потребуется , чтобы обе стороны угла были параллельны плоскости проекций.

С 2

А2 Ð?

= В2

\

Х 1,2

С 1

\

С 4 В4,С4 = В,С Ð?

А 1 a

В 1

В 4 Ð 90 град

=

А 4

Х 1,4

Введем новую плоскость проекций П 4 , так чтобы она была параллельна отрезку ВС. Одновременно плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1.

Эти плоскости образуют новую ось Х 1,4. Ось на чертеже проводим

параллельно горизонтальной проекции отрезка В 1С 1.

Строим новую проекцию отрезка ВС:

1)é (В1,В4) É В 1 ; ( В 1, В4) ^ Х 1,4. (построить прямую В1,В4,

которая включает точку В 1 ; прямая перпендикулярна оси Х 1,4)

2) é В 4 Ì ( В1, В4) ; çВ 4, Х 1,4 ç = ç В 2, Х 1,2ç (построить точку В 4 принадлежащую прямой В1,В4 ; расстояние от В 4 до оси Х 1,4 равно расстоянию от В2 до оси Х 1,2.)

3) é (С1, С4) É С 1 ; ( С 1, С 4) ^ Х 1,4 ( построить линию С1,С4,

которой принадлежит точка С1; линию С1,С4 провести перпендикулярно

оси Х 1,4)

4) é С 4 Ì (С 1, С4) ; ê С4, Х 1,4 ê = ê С2, Х 1,2ê (построить точку С 4 принадлежащую прямой С1, С4; расстояние от точки С4 до оси Х 1,4

равно расстоянию от точки С2 до оси Х 1,2)

5) é ê В 4 С 4 êÉ В 4 Ù С 4 ( построить проекцию отрезка прямой В4,С4 включающего точки В4 и С4)

.

На этом этапе мы построили проекцию отрезка прямой В4,С4, которая обладает следующими метрическими свойствами :длина проекции отрезка равна длине

самого отрезка . Величина угла a 4 между проекцией В4,С4 и новой осью Х 1,4

равна углу наклона отрезка прямой В,С к плоскости П 1.

Чтобы закончить наши построения достаточно :

6)é (А1,А4) É А1 ; ( А 1,А4) ^ Х 1,4. (построить прямую А1,А4, которая включает точку А 1 ; прямая перпендикулярна оси Х 1,4)

7) é А 4 Ì ( А1, А4) ; çА 4, Х 1,4 ç = ç А 2, Х 1,2ç (построить точку А 4 принадлежащую прямой А1,А4 ; расстояние от А 4 до оси Х 1,4 равно расстоянию от А2 до оси Х 1,2.)

8) é êА 4, В 4 êÉ А 4 Ù В 4 ( построить проекцию отрезка прямой А4,В4 включающего точки А4 и В4).

Теперь мы построили проекцию угла А4В4С4 на плоскость П4 , причем проекция

равна натуральной величине угла АВС, так как это прямой угол.

Рассмотрим решение второй основной задачи преобразования чертежа

на примере:

Изобразим на чертеже горизонталь h.

Необходимо ввести новую плоскость проекций так, чтобы по отношению к ней горизонталь заняла проецирующие положение, т. е. спроецировалась в точку.

Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций , то

для того чтобы она спроецировалась в точку в точку необходимо заменить

фронтальную плоскость проекций на новую П4 :

П4 ^ П1 Ù ^ АВ.

А 2 h 2 В 2

_ _

Х 1,2

А 1 h 1

В 2

/

h 3 º · А4 º В 4

Х 1,4

Для всех точек линии АВ (горизонтали) будет одна линия проекционной связи перпендикулярная оси Х 1,4, а расстояние от горизонтали до горизонтальной

плоскости проекций все одинаковы. Измерим расстояние на плоскости П 2 и

отложим его от оси Х 1,4 по линии проекционной связи. Проекция на плоскость П4 будет обладать собирательным свойством .

Если бы прямая занимала общее положение , то преобразовать ее в прямую проецирующую можно двумя заменами, т. е. обе задачи решают последовательно.

В качестве литературы по данному разделу рекомендую учебное пособие

М.А. Луговой Точка, прямая, плоскость. МАДИ, Москва 1995 г.

При подготовке к практическому занятию прошу решить задачи 6, 7, 10 из Тетради.