Вторая главная позиционная задача (2гпз)

Целью решения 2ГПЗ является построение линии пересечения поверхности другим геометрическим телом. От вида и формы поверхности и этого тела зависит и форма получаемой линии пересечения. Многообразие разновидностей 2ГПЗ поясняется нижеприведенной классификацией, см. рисунок 14.

При построении линии пересечения возможны различные пути решения задачи. Если один из образов занимает проецирующее положение, то одна проекция требуемой линии уже имеется, и работа сводится лишь к нахождению ее второй проекции. Если же пересекающиеся образы занимают общее положение, то для построения могут быть применены либо метод вспомогательных секущих плоскостей, либо вспомогательных секущих сфер.

Рисунок 14 – Классификация вторых главных позиционных задач

Наиболее универсальным для нахождения точек линии пересечения поверхностей (криволинейных, многогранных и их комбинаций) является метод секущих плоскостей. Его суть и порядок проводимых действий поясняются моделью и алгоритмом, см. рисунок 15.

Алгоритм 1.Выбирается вспомогательная плоскость и ею пересекаются обе исходные поверхности. 2.Строится линия пересечения этой плоскости с каждой из исходных поверхностей. 3. Отмечаются точки взаимного пересечения построенных линий. 4. Проводится ряд вспомогательных плоскостей и строится множество точек пересечения таких дополнительных линий. 5. Полученные точки объединяются огибающей линией, которая и является искомой. 6. Устанавливается видимость участков построенной линии.

Рисунок 15 – Модель и алгоритм метода секущих плоскостей

Задача 5: Построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса со сферой. Определить видимость линии.

Решение задачи, см. рисунок 16.

Верхнюю и нижнюю точки искомой линии можно найти с помощью горизонтально-проецирующей плоскости α, проходящей через оси вращения сферы и конуса. Она пересечет заданные поверхности по окружности и треугольнику, которые являются фронтальными очерками конуса и сферы. В пересечении этих очерков находятся точки А" и В". С помощью линий связи определяются их горизонтальные проекции А' и В'.

Из анализа проекций видно, что А' является видимой, а В' невидимой. Значит, где-то линия пересечения меняет свою видимость. Точки-границы видимости находятся на экваторе сферы. Поэтому для их нахождения используется вспомогательная плоскость β, проходящая через него. Эта плоскость пересекает конус по окружности, с крайней левой точкой 1, а сферу по экватору. Построив по проекции 1" горизонтальную проекцию окружности на конусе, легко видеть двойные точки С', в которых она пересекается с экватором сферы.

Для уточнения формы искомой линии следует взять промежуточную плоскость γ. Она пересекает конус по окружности с крайней левой точкой 2", а сферу по окружности с крайней правой точкой 3". По их фронтальным проекциям с помощью линий проекционной связи строятся горизонтальные проекции этих окружностей, которые пересекаются в двойных точках D'.

Перенеся полученные точки С и D на следы плоскостей β и γ, определяется набор точек, через которые проходит фронтальная проекция искомой линии пересечения. Видно, что она является кривой. Обвод проекций точек А'-С'-D'-В'-D'-С'-А', формирует ее горизонтальную проекцию. Следует учесть, что участок С'-D'-В'-D'-С' будет невидимым, т.к. находится на нижней части сферы.

Рисунок 16 – Построение линии пересечения поверхностей методом секущих плоскостей

Для закрепления материала по методу секущих плоскостей, рекомендуется решить задачи Приложения Б. Их графические условия для более наглядной работы целесообразно увеличить в два раза.

Условиями метода секущих сфер являются следующие – пересекаются между собой поверхности вращения; их оси образуют плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций; эти оси пресекаются в пределах чертежа.

Его суть и порядок проводимых действий поясняются моделью и алгоритмом, см. рисунок 17. Рядом приведено решение задачи по алгоритму с условием, соответствующим модели.

Алгоритм 1.Находится центр О вписываемых секущих сфер, как точка пересечения осей вращения исходных поверхностей. 2. Определяется радиус Rmax максимальной сферы. Он равен расстоянию от центра до наиболее уделенной точки пересечения очерков поверхностей. 3.Определяется радиус Rmin минимальной сферы. Она должна одной поверхности касаться, а другую пересекать. 4. Задается минимальная сфера и строятся окружности b и a, по которым она пересекает тор и касается конуса. 5. Находятся точки А и В, где построенные линии пересеклись. 6. Проводится ряд сфер промежуточных радиусов и для них строятся аналогичные пункту 4 окружности, которые пересекаются в точках. 7. Добавляются к найденному набору верхняя С и нижняя D точки. 8. Полученные точки обводятся плавной огибающей кривой, которая и будет искомой. 9. В случае построения двух проекций поверхностей, известными способами строится горизонтальная проекция линии пересечения и определяется ее видимость.

Рисунок 17 – Модель, алгоритм метода секущих сфер и решение задачи по методу

Задачи, рекомендованные для самостоятельного решения с использованием метода секущих сфер, приведены в Приложении В. Для работы следует скопировать графическое условие задач в масштабе 1:1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия : Учебник/В.Н.Виноградов. 3-е изд., перераб. И доп.- Мн.: Амалфея, 2001.-368 с.

2. Начертательная геометрия: Учеб. Для вузов/ Н.Н. Крылов,Г.С.Иконникова, В.Л.Николаев, В.Е.Васильев; Под ред. Н.Н.Крылова. – 7-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш.шк., 2001. – 224 с.: ил.

3. Локтев О.В. Задачник по начертательной геометрии: Учеб. пос. для втузов /О.В.Локтев, П.А.Числов. - %-е изд. Стер. – М.: Высш.шк., 2004. – с.: ил.

Приложение А (рекомендуемое)

Найти точки пересечения заданных прямых линий с поверхностями. Определить видимость линии.

Приложение А (продолжение)

Приложение Б (рекомендуемое)

Методом секущих плоскостей построить линию пересечения заданных поверхностей. Определить видимость всех линий чертежа.

Приложение В (рекомендуемое)