Пересечение кривой поверхности плоскостью.

74. Построить линию пересечения конуса вращения фронтально- проецирующей плоскостью α (α₂) (рис. 155).

Рис. 155

Решение

Так как дана плоскость фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения конуса с плоскостью будет представлять собой отрезок А₂В₂. Горизонтальная проекция линии пересечения в нашем примере будет являться эллипсом. Точки этого эллипса строятся как горизонтальные проекции (C₁, C₁') точек, лежащих на поверхности конуса вращения.

75. Построить проекции линии пересечения данных поверхностей проецирующей плоскостью (рис. 156 - 158).

Рис. 156 Рис. 157 Рис. 158

76. Построить проекции линии пересечения данных поверхностей плоскостью частного положения (рис. 159 - 160).

Рис. 159 Рис. 160

77.Построить сечение сферы плоскостью, заданной прямой а (а₁, а₂) и точкой А (А₁, А₂), принадлежащей сфере (рис. 161).

Рис. 161

78. Построить линию пересечения конуса вращения плоскостью общего положения (рис. 162).

Рис. 162

Решение

Пусть плоскость общего положения задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, одна из которых (АВ) является горизонтальной. Преобразуем данные фигуры так, чтобы плоскость общего положения стала бы проецирующей.Это выполнено с помощью способа замены плоскостей проекций П₂ на П₄. Новая ось X₁₄ A₁B₁. Найдено новое положение конуса и плоскости путём откладывания высот точек от новой оси. Так |A₄A₁₄| = |A₂A₁₂|. Проекция линии пересечения на плоскости П₂строится путём откладывания от оси Х₁₂ на линиях связи отрезков высот, отмеренных на плоскости П₄. Например отрезок |5₂5₁₂| = |5₄5₁₄|. На фронтальной плоскости проекций П₂ точки 5₂,6₂ являются экстремальными точками. Точки 2₂ и 1₂ являются точками видимости.

Пересечение кривой поверхности с прямой линией.

79.Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью (рис. 162 - 165).

Рис. 162 Рис. 163

Рис. 164 Рис. 165

Взаимное пересечение кривых поверхностей.

Способ секущих плоскостей.

80. Построить линию пересечения цилиндра вращения и конуса вращения (рис. 166).

Рис. 166

Решение

Так как у заданных поверхностей вращения оси являются скрещивающимися прямыми, то применяем способ секущих плоскостей. Выбираем такие плоскости, которые бы пересекали две данные поверхности по прямым или по окружностям. Такими плоскостями являются горизонтальные плоскости уровня α (α₂). Они будут пересекать конус по окружностям, а цилиндр – по прямолинейным образующим. На пересечении этих линий и будут находиться искомые точки, принадлежащие линии пересечения. Проводим их от точки 3₂ до точки 8₂. Так как цилиндр является фронтально-проецирующим, то эту задачу можно рассматривать как задачу на инцидентность. А именно, находим горизонтальные проекции точек 1₁, 2₁, 3₁ и т.д., принадлежащих поверхности конуса вращения, если известны их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂ и т.д.

81.Построить линию пересечения цилиндра вращения и наклонного конуса с круговым основанием (рис. 167).

Рис. 167

Решение

Так как ось цилиндра перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция линии пересечения данных поверхностей является дугами окружности - основания цилиндра. Отметим целый ряд точек: опорные - 6₂ и 13₂, 8₂, случайные 2₂, 4₂, 5₂, 9₂ и т.д. Найдя их горизонтальные проекции (из условия принадлежности их поверхности конуса) и соединив их плавными кривыми, получим горизонтальную проекцию линии пересечения. Следует отметить, что горизонтальные проекции точек можно построить путем проведения через их фронтальные проекции 2₂, 3₂ горизонтальных плоскостей уровня α (α₂), b (b₂) и т.д. и проведения затем на П₁ окружностей с центрами на оси конуса, или путем проведения через точки 2₂, 3₂и вершину конуса S₂ фронтальных проекций прямолинейных образующих наклонного конуса (см. нахождение точек 1₁, 2₁, 6₁, 7₁ и т д.) (рис. 167).

Видимыми на П₁ будут те точки, которые расположены на видимой части поверхности цилиндра и одновременно на видимой части поверхности наклонного конуса. Их соединим между собой сплошной толстой линией.

Примечание.

Все точки цилиндра вращения, расположенные выше горизонтальной плоскости уровня, проходящей через ось цилиндра, на П₁ будут видимые. Все точки наклонного конуса, лежащие на видимых образующих на П₁, также будут видимые.

82.Построить проекции линии пересечения данных поверхностей (рис. 168 -177).

Рис. 168 Рис.169

Рис. 170 Рис. 171

Рис. 172 Рис. 173

Рис. 174 Рис. 175

Рис. 176 Рис. 177

83. Построить линию пересечения цилиндра вращения и четверти кольца (рис. 178).

Рис. 178

Решение

Так как в этой задаче цилиндр вращения является фронтально- проецирующей поверхностью, то линия пересечения на П₂ будет совпадать с окружностью – фронтальной проекцией цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения найдется из условия принадлежности точек 1(1₂); 2(2₂); 3(3₂) и т.д. поверхности открытого тора. Проводя на П₂ через указанные точки круговые образующие и найдя их на П₁ как отрезки прямых, параллельные оси ОХ, мы с помощью линий связи строим на них горизонтальные проекции этих точек. Вначале находим опорные точки: экстремальные на П₂ точки 3₂ и 7₂,точки видимости на П₁ 2₁ и 4₁, а затем несколько случайных точек 5₂, 6₂ и т.д. На горизонтальной проекции точки соединяем в той же последовательности, в какой они соединены на окружности на фронтальной проекции.

Видимость точек на П₁ также определяем с учетом видимости образующих цилиндра и тора, на которых они лежат.