Некоторые позиционные задачи пересечения многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Вершины и стороны фигуры сечения определяются пересечением заданной плоскости соответственно с рёбрами и гранями многоугольника. То есть многократно решается задача или на пересечение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью), или на пересечение прямой с плоскостью (рёбер многогранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Задача: Дана треугольная наклонная пирамида и секущая фронтально проецирующая плоскость å (рис. 6.1). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.1.

Решение: Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (1₂2₂3₂) совпадет со следом плоскости å₂. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяем горизонтальные проекции вершин треугольника (1₁2₁3₁) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

Задача: Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.2. Пересечение многогранника плоскостью.

Решение: Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы (А₁В₁С₁) º (1₁2₁3₁). Решение задачи сводится к определению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости ¦, проведенными через соответствующие точки 1₁ º В₁, 2₁ º А₁, 3₁ º С₁. Фронтальную проекцию фигуры сечения (1₂2₂3₂) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствующими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

Задача: Дана прямоугольная пирамида и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.3.

Решение: Ребра и грани пирамиды являются геометрическими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребра пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: ребро АS - в плоскость D (D₂ º А₂S₂), ребро ВS - в плоскость l (l₂ º В₂S₂), ребро СS - в плоскость å (å₂ º С₂S₂). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью – линии (1₁2₁), (3₁4₁), (5₁6₁). На пересечении линий пересечения и проекций соответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D₁E₁F₁), (D₂E₂F₂).

Задача: Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положения l (рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение: Так как прямая l является прямой общего положения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Заключаем прямую l во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость å (å₂ º l₂). Строим сечение пирамиды вспомогательной плоскостью å (аналогично задаче рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямой l₁ и контуром сечения (1₁2₁3₁) находим искомые точки D и E. Определяем видимость прямой относительно точек пересечения с пирамидой.

Развертка многогранника

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная совмещением поверхности с плоскостью.

Построение разверток важно для тех видов производства, где продукция изготавливается из листового материала. При проектировании листовых конструкций выполняется построение разверток их поверхностей. При построении развертки многогранника необходимо определить натуральную величину всех его граней.

Рис. 6.4. Пересечение прямой с многогранником.

Существует несколько способов построения разверток: способ нормального сечения, способ раскатки.

Рассмотрим построение развертки призмы способом нормального сечения.

Задача: Дана треугольная призма (рис. 6.5). Построить развертку поверхности данной призмы.

Рис. 6.5. Развёртка призмы. Способ нормального сечения.

Решение: Пересечем призму плоскостью Т перпендикулярно ее боковым ребрам. Полученное сечение (123) называется нормальным. Так как ребра призмы в данной задаче являются горизонталями, то след плоскости нормального сечения Т₁ перпендикулярен горизонтальным проекциям ребер A₁F₁, B₁D₁, C₁E₁. Определяем натуральную величину нормального сечения призмы плоскостью Т способом вращения вокруг оси i. Фигура (1 2 3 ) - натуральная величина нормального сечения.

Для построения развертки на горизонтальной линии отложим отрезки, равные сторонам нормального сечения 1₀2₀ º 1 2 , 2₀3₀ º 2 3 , 3₀1₀ º 3 3 . Ребра призмы перпендикулярны линии нормального сечения, их натуральную величину измеряем на горизонтальной плоскости(так как ребра являются горизонталями) B₀D₀ º B₁D₁, A₀F₀ º A₁F₁, C₀E₀ º C₁E₁. Полученная фигура B₀A₀C₀B₀D₀E₀F₀D₀ являются боковой поверхностью призмы. Для получения полной развертки достраиваем в натуральную величину основания призмы.

Кривые поверхности

Основные понятия

В начертательной геометрии кривая поверхность определяются, как непрерывное множество положений перемещающейся в пространстве линии, называемой образующей. Образующая может быть прямой линией (линейчатая поверхность) или кривой (нелинейчатая). Движение образующей в пространстве может осуществляться по некоторому закону. Такая поверхность называется закономерной, в отличии от незакономерной (случайной) поверхности. К числу условий перемещения в пространстве образующей линии относятся: перемещение по неподвижным линиям - направляющим, вращательное движение вокруг неподвижной оси, винтовое перемещение и др.

Одна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий и согласно различных условиям. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть рассмотрена как результат:

- перемещение окружности вдоль некоторой оси;

- вращение некоторой образующей прямой линии вокруг оси вращения;

- вращение некоторой кривой линии, все точки которой равноудалены от оси вращения.

Рассматривая совокупность прямолинейных образующих с совокупностью образующих окружностей получим каркас данной поверхности цилиндра.

Множество неподвижных линий, инцидентных данной поверхности и объединенных каким либо общим признаком, называется её каркасом.

Задание поверхности вращения на чертеже. Точки и линии на поверхности

На чертеже поверхность изображают очерком проекций поверхности или её отдельных частей.

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этой поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, принадлежащей данной поверхности. Рассмотрим чертёж конуса и точки, принадлежащие его поверхности (рис. 6.6). Фронтальная проекция конуса задана очерковыми образующими, определяющими границы поверхности, а горизонтальная – проекцией основания конуса. Каркас конуса – это совокупность образующих прямых линий, соединяющих их вершину S и основание конуса и совокупность параллелей – окружностей различного радиуса, плоскость которых перпендикулярна оси конуса.

Рис. 6.6.

Рассмотрим ряд точек на боковой поверхности конуса. Точка А расположена на очерковой образующей конуса, её горизонтальная проекция находится на линии связи, на оси конуса. Обратим внимание, что очерковая образующая является фронталью, т.е. её фронтальная проекция натуральная величина образующей конуса.

Принадлежность точек В и С поверхности конуса определяется соответственно с помощью параллели радиуса R или образующей конуса (S₁).