Инженерная и компьютерная графика

Инженерная и компьютерная графика

Учебное пособие

Самара

УДК

БКК

К

Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,

протокол №25 от 08.02.2017

Кордонская, И.Б.

К Инженерная и компьютерная графика/И.Б.Кордонская - Самара: ПГУТИ, 2017.-90с.

Учебное пособие предназначено для студентов дневного и заочного обучения всех специальностей ПГУТИ для изучения курса «Инженерная и компьютерная графика» и соответствует государственным стандартам образования.

Учебное пособие содержит необходимый материал по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике. Весь материал по начертательной геометрии представлен в алгоритмизированном виде. Приведены классификации метрических и позиционных задач с алгоритмами решения. Раздел по инженерной графике охватывает часть стандартов ЕСКД, необходимых для выполнения чертежей деталей и электрических схем. В разделе компьютерной графики даны основные понятия и виды КГ. В конце каждого раздела приведены вопросы для самоконтроля учащихся, в том числе и практические задания.

©, Кордонская И.Б.,2017

Содержание

Введение……………………………………………….……………………… …… 5

1 Основы инженерной графики................................................................................ 6

1.1 Основные разделы инженерной графики........................................................ 6

1.2 Свойства проецирования.................................................................................. 7

1.3 Способы получения обратимого чертежа....................................................... 8

1.4 Присоединение системы координат к системе плоскостей проекций........... 13

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 13

2 Задание основных элементов на чертеже............................................................. 14

2.1 Определитель основных геометрических элементов и фигур..................... 14

2.2 Прямая. Задание прямой линии на чертеже.................................................. 14

2.3 Задание плоскости на чертеже....................................................................... 15

2.4 Классификация прямых и плоскостей............................................................ 16

2.5 Взаимное расположение прямых и плоскостей............................................. 20

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 21

3 Задание поверхностей на чертеже........................................................................ 24

3.1 Общие понятия................................................................................................ 24

3.2 Призматическая поверхность......................................................................... 25

3.3 Пирамидальная поверхность......................................................................... 25

3.4 Поверхность вращения................................................................................... 27

3.5 Цилиндрическая поверхность........................................................................ 27

3.6 Коническая поверхность................................................................................ 28

3.7 Сфера............................................................................................................... 29

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 31

4 Преобразование чертежа...................................................................................... 32

4.1 Способ замены плоскостей проекций............................................................ 32

4.2 Четыре основные задачи, решаемые заменой плоскостей проекций........... 34

Вопросы для самоконтроля................................................................................. 37

5 Метрические задачи.............................................................................................. 38

6 Позиционные задачи............................................................................................. 43

6.1 Классификация позиционных задач.............................................................. 43

6.2 Взаимное пересечение двух плоскостей (1 группа позиционных задач).... 44

6.3 Взаимное пересечение прямой и плоскости или поверхности (2 группа позиционных задач)............................................................................................................... 46

6.4 Взаимное пересечение плоскости и поверхности (3 группа позиционн. задач) 48

6.5 Взаимное пересечение поверхностей (4 группа позиционных задач).......... 52

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 56

7 Виды, разрезы, сечения......................................................................................... 57

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 60

8 Правила нанесения размеров на чертежах.......................................................... 61

8.1 Общие положения........................................................................................... 61

8.2 Размерные и выносные линии. Размерные числа.......................................... 62

8.3 Условные знаки и упрощенное нанесение размеров..................................... 65

Вопросы для самоконтроля..................................................................................... 69

9. Правила выполнения чертежей электрических схем.......................................... 70

... 9.1 Виды и типы схем ………………………………………………………………..70

9.2 Термины, используемые в электрических схемах......................................... 70

9.3 Условные обозначения элементов электрических схем ……… ………………71

9.4 Схемы электрические структурные ………………………………………..……71

9.5 Схемы электрические принципиальные………………………………….……. 72

9.6 Схемы электрические функциональные ……………………………….……… 73

Вопросы для самоконтроля …….…………………………………………………….74

10. Компьютерная графика ………………………………………………………….….75

10.1Интерактивная машинная графика ……………………….………………...75

10.2 Средства работы с компьютерной графикой ………………...……...……75

10.3 Стандарт машинной графики GKS (ГКС, ЯГС)…………..….………...…76

10.4 Растровая графика …………………………………………….…………….76

10.5 Векторная графика ………………………………………………………….78

10.6 Цвет в машинной графике..…………………………………………………81

10.7 Разрешающая способность ……………………………….……………..…82

10.8 Преобразование форматов графических файлов ……………………….. 86

Вопросы для самоконтроля …………………………………………………………… 88

Источники информации………………………………………………………… 90

Введение

Инженерная графика – дисциплина, необходимая для подготовки инженеров всех специальностей, обучает методам изображения предметов и общим правилам черчения. Для инженера изучение этих вопросов является не самоцелью, а средством проектирования, а так же разработки и выполнения конструкторской документации, в том числе с применением автоматизации.

Развитие аппаратных и программных средств вычислительной техники привело к тому, что при общении с ЭВМ основным носителем информации становится изображение. Компьютерная графика находит самое широкое применение в различных отраслях науки и техники, экономики и управления, в промышленности и в учебном процессе.

Наряду с улучшением восприятия информации компьютерная графика позволяет моделировать на экране дисплея изучаемые процессы и явления, а также создаваемые технологические процессы и объекты.

В настоящее время разработано достаточно много специализированных программных графических пакетов, с помощью которых возможно создание изображений - рисунков и чертежей. Для овладения ими, кроме знания основ программирования и использования ЭВМ, необходимо владение аппаратом инженерной графики.

Цель настоящего курса - дать навыки использования современных компьютерных графических средств на базе ознакомления с основами инженерной графики.

1 Основы инженерной графики

Свойства проецирования

Метод начертательной геометрии - метод проекций. Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект(оригинал или прообраз)и плоскость проекций, на которой получается изображение объекта(проекция оригинала или образ) (рис.1.1).

Различают три вида проецирования: центральное (а), параллельное (б) и ортогональное (перпендикулярное) (в). При центральном проецировании все лучи выходят из одной точки S (например, фотографирование).

Если центр проекций S удален в бесконечность, то все лучи становятся параллельными - параллельное проецирование.

Частный случай параллельного проецирования - ортогональное проецирование, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

а) б) в)

Σ - плоскость проекций; l - проецирующий луч; А - оригинал;

А₁ - проекция оригинала или точка пересечения проецирующего луча с плоскостью

Рисунок 1.1

Все виды проецирования обладают следующими свойствами:

1) Проекция точки есть точка (исключение - центр проекций S).

2) Проекция прямой есть прямая; частный случай - точка, если направление прямой совпадет с направлением проецирующего луча.

3) Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции этой прямой.

Параллельное и ортогональное проецирование обладает кроме этого дополнительными свойствами:

4) Если прямые параллельны, то и их проекции параллельны.

5) Сохраняется величина отношения длин отрезков, лежащих на одной пря­мой или на параллельных прямых (рис.1.2а).

И, наконец, ортогональное проецирование обладает только ему присущими свойствами:

6) Для отрезка |АВ| и его ортогональной проекции |А₁В₁| справедливо соотношение (рис.1.2б): |А₁В₁ê=| АВ ê× соsj

где j - угол между отрезком и его ортогональной проекцией.

		ÐАВС=ÐА1В1С1=90°
а)	б)	в)

Рисунок 1.2

7) Прямой угол проецируется в прямой угол, если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна (рис.1.2 в).

Метод ортогонального проецирования лежит в основе изучаемого нами раздела начертательной геометрии. Однако, полученное изображение на одной плоскости проекций не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета (рис.1.3).

Рисунок 1.3

Аксонометрические проекции.

Задание основных элементов на чертеже

Прямая. Задание прямой линии на чертеже

Если имеем в пространстве две точки, то через них можем провести пря­мую и притом только одну.

На чертеже прямая может быть задана проекциями двух точек, либо проекциями всей прямой.

Рисунок 2.1

Задание плоскости на чертеже

Всякая плоскость в пространстве и на чертеже задается своим определителем, который состоит в геометрической части из 3 точек, не лежащих на одной прямой; точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

На комплексном чертеже плоскость задается проекциями ее определителя.

Если плоскость задана на чертеже, то можно построить сколько угодно точек, ей принадлежащих ® алгоритмическая часть определителя поверхностей.

КÎS(АВС) (рис.2.2 а) КÎГ(a||b) (рис.2.2 г)

Геометрические определители плоскости:   а) S(А,В,С) или D( АВС) б) R (А,b) в) T (а∩b) г) G (а||b)
	а)	б)
	в)	г)

Рисунок 2.2

Длина отрезка прямой общего положения на чертеже определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого является одна из проекций этого отрезка, а другой - алгебраическая разность расстояний от концов отрезка до соответствующей плоскости проекций.

Рисунок 2.8

Точки пересечения прямых с плоскостями проекций называются соответ­ственно горизонтальным(H)и фронтальным(F)следами прямых(рис.2.9).

Рисунок 2.9

Линии пересечения плоскостей с плоскостями проекций называются соответственно горизонтальным и фронтальным следами плоскостей(рис.2.10).

Три плоскости П₁, П₂ и плоскость общего положения S пересекаются в одной точке схода следов.

Задание плоскости следами - это частный способ ее задания, разновидность задания плоскости двумя пересекающимися прямыми ®S ( f ∩ h).

Рисунок 2.10

В любой плоскости общего положения всегда можно провести сколько угодно горизонталей и фронталей - главных линий плоскости -(рис.2.11). (К главным линиям плоскости относятся также линии ската – линии, перпендикулярные фронталям и горизонталям плоскости). Все горизонтали (фронтали), лежащие в одной плоскости, параллельны между собой, поэтому часто плоскости задают пересекающимися прямыми f ∩ h или следами.

f Î å(ABC) f1 || x12 h Î å(ABC) h2 || x12 ®S f ∩ h

Рисунок 2.11

Задание поверхностей на чертеже

Общие понятия

Поверхности могут быть заданы непрерывно (цилиндр, конус), а могут быть заданы дискретно линиями или точками.

Призматическая поверхность

Призматическая поверхность- линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямой в пространстве (образующей) и пересекающей ломаную линию (направляющую).

Призматическая поверхность в пространстве и на чертеже задается своим определителем Ф (m; )[А](рис. 3.2).

где m - направляющая;

- направление перемещения образующей;

М Ì Ф - произвольная точка, принадлежащая поверхности призмы;

l || - образующая, проходящая через т. М;

l É М и l ∩ m = 1 М2 задана произвольно М2 Î l2 l2 || ā2 l2 ∩ m2 = 12 12 ® 11 и 11Î l1 l1 || ā1 М1 Î l1

Рисунок 3.2

Т.к. М произвольная точка и вторая проекция ее построена, то теорема доказана.

Призма - геометрическая фигура, ограниченная замкнутой призматической повер­хностью и двумя плоскостями (рис. 3.3).

l ^ П1   Г || П1   П1

Рисунок 3.3

Пирамидальная поверхность

Пирамидальная поверхность - поверхность образованная непрерыв­ным перемещением прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей ломаную линию.

Пирамидальная поверхность задается в пространстве и на чертеже своим определителем Ф(S,m)[А], где S - вершина пирамиды; m – направляющая, ломаная линия (рис. 3.4).

Пирамидальная поверхность располагается по обе стороны от ее вершины, может быть замкнутой и незамкнутой.

М – произвольная точка, принадлежащая поверхности пирамиды.

Образующая l проходит через т.М, вершину S и пересекает направляющую m.

Рисунок 3.4

Пирамидой называется часть пространства, ограниченная пирамидальной поверхностью, а также вершиной и плоскостью или двумя плоскостями (рис. 3.5).

Рисунок 3.5

Поверхность вращения

Поверхность вращения - поверхность, образованная вращением некоторой кривой (образующей) вокруг прямой (оси вращения) (рис. 3.6).

S (i, l) [А]: i - ось вращения; l - образующая; М Î S; аM - окружность вращения точки М; Г ^ i - параллели

Рисунок 3.6

Параллель максимального радиуса вращения, если такая есть (у конуса ее нет) называется экватором.

Параллель минимального радиуса, если такая есть, называется горловой линией.

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность - линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямой (образующей) в пространстве, пересекающей кривую линию (направляющую) (рис. 3.7).

S (a;m) [А]: - направление перемещения образующей; m - направляющая; М Î S; l Ì M и l || l ∩ m

Рисунок 3.7

Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением прямой линии параллельной оси вращения вокруг этой оси (рис. 3.8).

Коническая поверхность

Конической - называется поверхность, образованная непрерывным перемещением прямой линии (образующей), проходящей через фиксированную точку и пересекающей кривую (направляющую) (рис. 3.9).

å(S,m)[A]

Рисунок 3.9

Коническая поверхность вращения - линейчатая поверхность, образованная вращением прямой (образующей) вокруг оси, пересекающей образующую в фиксированной точке (вершине конической поверхности).

Коническая поверхность вращения в пространстве и на чертеже задается своим определителем Ф (i, l)[A], где (рис. 3.10):

i ^P₁ - ось вращения; l - образующая; l Ç i = S - вершина;

M Î Ф, M Î a^M;

a^M - окружность вращения т.М;

R_M - радиус окружности вращения т. М, R_M = |O₁A₁|;

M₂ Þ M₁ (M′₁).

Рисунок 3.10

Через точку М построим параллель - окружность а. Окружность расположена в плоскости Г перпендикулярной оси вращения и параллельной П₁.

[0А] || P₁; [0А]=R_M ; |0А|=|0₁А₁|

Т.к. точка М произвольная и построены ее проекции, достаточность геометрического определителя доказана.

Сфера

Проекций

Задача 1.Прямую общего положения преобразовать в прямую уровня (параллельную плоскости проекций).

Алгоритм преобразования (рис.4.5):

1) П₄||a или П₅||a

2) ^ - проецирование ортогонально новой плоскости проекций;

3) r - const - сохранение расстояний.

Т.к. а||П₄ или ||П₅ , то длина отрезка АВ может быть найдена по чертежу:

|АВ|=|А₄В₄|=|А₅В₅|

a - угол наклона прямой а к горизонтальной пл.пр.

b - угол наклона прямой а к фронтальной пл. пр.

На прямой общего положения а задаем отрезок АВ |АВ| Ì а
1 вариант   П2ÞП4^П1 П4 || а х14 || а1	2 вариант   П1ÞП5^П2 П5 || а х25 || а2

Рисунок 4.5

Задача 2.Прямую уровня сделать проецирующей прямой (рис. 4.6 и 4.7) .

горизонталь h	фронталь f
П2 Þ П4 ^ П1 П4 ^ h x14 ^ h1	П1 Þ П5 ^ П2 П5 ^ f x25 ^ f2
Рисунок 4.6	Рисунок 4.7

Алгоритм преобразования (рис.4.6):

1) П₄ ^ h;

2) ^ - проецирование ортогональное;

3)r - const .

Задача 3. Плоскость общего положения сделать проецирующей плоскостью в новой системе проекций (рис. 4.8).

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Это возможно, если направление проецирования совпадает с направлением соответствующих линий уровня пл. общего положения. Тогда все линии уровня изобразятся точками на новой плоскости проекций и дадут вырожденную в прямую проекцию плоскости.

S(АВС) - общего положения П2 Þ П4 ^ П1 П4 ^ S h Ì S (h É A) П4 ^ h x14 ^ h1

Рисунок 4.8

П₄^S(^h₁)

1) П₂ ® П₄ ^ S

2) ^ - проецирование ортогональное;

3) r - const .

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна ей. Т.е., если x₁₄^h₁, то S^П₄ или плоскость вырождается в прямую S₄ .

Задача 4. Ввести новую плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала бы плоскостью уровня в новой системе проекций (параллельна новой плоскости проекций) (рис. 4.9).

Решение этой задачи позволяет определить величины плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плос­кости.

S(АВС)^П1 ; П2 Þ П4^П1 Т.е. преобразование только такое: П2 Þ П4 ^П1 , и одновременно П4 || S Þ х14 || S1 Следовательно: DАВС = DА4В4С4

Рисунок 4.9

Алгоритм преобразования:

1) П₄ ... || S

2) ^ - проецирование ортогонально новой плоскости;

3) r - const - сохранение расстояний.

Если выполнить 1 и 2 задачи друг за другом на одном чертеже, прямая общего положения может преобразоваться в проецирующую прямую.

Последовательное решение 3 и 4 задач на одном чертеже позволяет плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня.

Вопросы для самоконтроля:

1) В чем суть способа замены плоскостей проекций?

2) Приведите четыре основных алгоритмов замены плоскостей проекций.

3) Выполнить 1 и 2 задачи друг за другом, чтобы отрезок АВ прямой общего положения с рисунка 2.1 преобразовать в проецирующую прямую.

4) Последовательным решением 3 и 4 задач плоскость D(АВС) общего положения с рисунка 2.5 преобразовать в плоскость уровня.

Метрические задачи

Метрические задачи можно разделить на три группы.

1 группа задач: определение расстояний от точки до другой точки, прямой, плоскости или поверхности; от прямой до другой прямой или плоскости; от плоскости до плоскости.

2 группа задач: определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми; между прямой и плоскостью; между плоскостями (двугранные углы).

3 группа задач: определение величины плоской фигуры или части поверхности (развертка, сечение).

Эти задачи решаются значительно проще, если геометрические элементы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Поэтому при решении метрических задач используются способы преобразования комплексного чертежа.

Рассмотрим решения метрических задач.

Задача 1. Расстояние от точки до точки (длина отрезка).

Рассмотрим три способа построения натуральной величины отрезка для решения метрических задач 1 группы.

а) С помощью построения прямоугольного треугольника(рис. 5.1):

ÐA1B1B′1 = 90° |B1B′1| = |B2 B12| - |A2A12| |АВ| = |А1В′1|

Рисунок 5.1

б) Вращением отрезка вокруг проецирующей прямой(рис. 5.2):

i Î A i ^ П1 - ось вращения А1В1 = R – радиус вращения т.В А′1В′ 1|| x12 |АВ|=|А2В′2|

Рисунок 5.2

в) Заменой плоскостей проекций(рис. 5.3):

|АВ| = |А4В4|

Рисунок 5.3

Задача 2. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра виден в натуральную величину в том случае, если он проведен к проецирующей прямой (рис. 5.4).

1) П2 Þ П4 || AB Þ x14 || A1B1 2) П1 Þ П5 ^ AB Þ x45 ^ A4B4 3) |К505| = |К0| - искомое расстояние (К404 || x45 , т.к. в этой системе проекций найденное расстояние является прямой уровня или горизонталью)

Рисунок 5.4

Задача 3. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Отрезок этого перпендикуляра виден в натуральную величину, если плоскость занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в прямую (рис. 5.5).

1) h Î å(ABC) 2) П2 Þ П4^h ; x14^h1 3) |К404|=|К0| - искомое расстояние (К101 || x14 ; 02012 =04014)

Рисунок 5.5

Задача 4. Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними. Этот отрезок виден в натуральную величину, если прямые проецирующие, т.е. вырождаются в точку (рис. 5.6) .

1) П2 Þ П4 || a ; b или x14 || a1 ; b1 2) П1 Þ П5 ^a ; b или x45 ^a4 ; b4 3) |К505 |= |К0| - искомое расстояние (К404 || x45 ; К4 - произвольное положение на прямой а)

Рисунок 5.6

Задача 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком перпендикуляра, когда одна из прямых занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в точку (a₅ на рис.5.7)

а и b - скрещивающиеся прямые общего положения   1) П2 Þ П4 || a или x14 || a1 2) П1 Þ П5 ^a или x45 ^a4 3) |К505 | = |К0| - искомое расстояние К505 ^b5 К404 || x45

Рисунок 5.7

Задача 6. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Эти отрезки перпендикуляров видны в натуральную величину, когда плоскость занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в прямую. Взять на заданной прямой любую точку и решение задачи сводится к определению расстояния от точки до плоскости.

Для определения параллельности прямой и плоскости на комплексном чертеже используется признак параллельности: прямая параллельна плоскости, если в плоскости есть прямая, параллельная данной.

Задача 7. Расстояние между параллельными плоскостямиизмеряется отрезком перпендикуляра между ними. Этот отрезок виден в натуральную величину, если плоскости занимают проецирующее положение, т.е. вырождаются в прямые (т.е. в свои следы).

Для определения параллельности двух плоскостей на комплексном чертеже используется известный признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Расстояние между параллельными плоскостями общего положения определяется заменой плоскостей проекций (решением 3 задачи способа): пл. П₂ заменяется на пл. П₄ перпендикулярную параллельным плоскостям. Новая ось чертежа располагается перпендикулярно горизонтальным проекциям горизонталей заданных плоскостей. Искомое расстояние определяется отрезком между следами плоскостей на новой плоскости проекций.

Задача 8. Истинная величина плоских углов определяется методом замены плоскостей проекций, для чего плоскость угла преобразуется в плоскость уровня. Последовательно решаются 3 и 4 основные задачи замены плоскостей проекций.

Задача 9. Величина угла между скрещивающимися прямыми определяется, как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

Задача 10. Величина двугранного угла определяется, как угол между двумя проецирующими плоскостями, когда линия пересечения плоскостей - ребро двугранного угла занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в точку (рис.5.8а).

а)	б)

Рисунок 5.8

Если ребро не задано, то определяется угол между перпендикулярами, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки пространства. В плоскости этих перпендикуляров получаем два угла, которые соответственно равны линейным углам двух смежных двугранных углов (рис.5.8б).

Задача 11. Величина плоской фигуры определяется методом замены плоскостей проекций, последовательным решением 3 и 4 основных задач. Плоскость преобразуется первоначально в проецирующую, относительно плоскостей проекций, а затем в плоскость уровня.

Вопросы для самоконтроля:

1) Опишите все группы метрических задач.

2) Опишите алгоритм преобразования чертежа для нахождения кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми общего положения.

3) Опишите алгоритм преобразования чертежа для нахождения (измерения) углов треугольника, занимающего общее положение.

Позиционные задачи

Задач)

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две точки этой линии:

S¹Ç S² = m (1;2)

Вариант А. Обе плоскости проецирующие(рис.6.2)

а) S¹^P₁ или б) S¹^P₁

S²^P₁ S²^P₂

Т.к. mÌS¹ и S², то единственное решение- пересечение этих плоскостей:

S¹₁Ç S²₁ = m₁: для случая (а) m^P₁, если плоскости не параллельны; для случая (б) m₁ = S¹₁ , m₂ = S²₂

а)	б)

Рисунок 6.2

Вариант В. Одна из плоскостей проецирующая

Если одна из плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная в прямую проекция включает в себя и проекцию линии пересечения плоскостей (рис. 6.3).

S1^P2 S2(a||b) - плоскость общего положения S1Ç S2= m (1;2) {m Ì S1, S^P2}Þ m2 = S12 но m Î S2, следовательно: m Ç a = (1), mÇb = (2) или m2Ça2 = (12); m2Çb2 = (22) Þ m2(12;22), а m1(11;21) определяется по принадлежности

Рисунок 6.3

Вариант C. Обе плоскости общего положения

Для решения таких задач возможны два пути решения: по общему алгоритму или методом замены плоскостей проекций. Задача слишком проста для решения громоздким методом замены плоскостей проекций, поэтому решаем по общему алгоритму.

1) Вводим вспомогательную секущую плоскость Г¹. Вспомогательные плоскости всегда вводятся проецирующими: Г¹^P₂ (или P₁).

2) Находим линии пересечения Г¹ с S¹ и S²; Г¹ Ç S¹ =n¹; Г¹ Ç S² = k¹.

(Это группа задач варианта В рассмотрена выше).

3) т.к. n¹ и k¹ лежат в одной плоскости Г¹, то n¹ Ç k¹ = M¹ - точка пересечения плоскостей S¹ и S².

Алгоритм решения повторяется: вводя вторую вспомогательную секущую плоскость Г² находим точку М². S¹ Ç S² = m (М¹; М²).

Рассмотрим задачу (рис. 6.4).

S1 (a || b) – общего положения S2 (c || d) – общего положения
1) Г1^P2 2) Г1ÇS1 = n1 Г1ÇS2 = k1 3) n1 Ç k1 = M1 M1Îm	1) Г2^P 2) Г2ÇS1 = n2 Г2ÇS2 = k2 3) n2Çk2 = M2 M2Îm

Рисунок 6.4

Вариант В-1. Прямая общего положения пересекается с

проецирующей плоскостью (рис. 6.6).

а – общего положения; S ^ P1 аÇS = М МÎа, МÎS, S^P1 Þ М1 = а1ÇS1; МÎа Þ М2Îа2

Рисунок 6.6

Вариант В-2. Проецирующая прямая пересекается с плоскостью

общего положения(