Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.
При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.
При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сечения деформированию.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выражение, получим статический момент площади сечения:
Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.
Статический момент используется при определении положения
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 209
центра тяжести сечения:
Формулы для определения положения центра тяжести можно записать в виде
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называют главными центральными осями сечения.
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:
1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох
210 Лекция 25
Осевые моменты инерции круга и кольца
Используя известную связь между осевыми и полярными моментами инерции, получим:
Главные оси и главные моменты инерции
Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.
Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.
Примеры решения задач
Пример 1.Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 213
Решение
1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.
bh3
Для прямоугольника JX02 = ——.
12
Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ.
Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:
где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ox0.
Момент инерции сечения
2. Осевой момент инерции относительно оси Оу:
Момент инерции сечения
214 Лекция 25
Пример 2.Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).
Решение
1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1.
Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox1 = 572 см4.
Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox2 = 757 см4.
Площадь А2 = 18,1 см2, Joy2 = 63,3 см4.
2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят.
При этом главные центральные оси поменялись местами.
y2 = (h1/2) + d2 — zo2; по ГОСТ находим h1 = 14 см; d2 = 5 мм; zo = 1,8 см.
3. Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции
швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу
моментов инерции относительно параллельных осей:
В данном случае J ´qX2 = J ´qу2 = 63,3 см4;
y2 = (14/2) + 0,5 — 1,8 = 5,7 см (расстояние между осями координат Ох' и Ох);
Контрольные вопросы и задания
1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз
увеличатся осевые моменты инерции? 
2. Осевые моменты сечения равны соответственно Jx = 2,5 мм4 иJy = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.
3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох Jx = 4 см4. Определите величину Jp.
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 215
4. В каком случае Jx наименьшее (рис. 25.7)?
5. Какая из приведенных формул для определения Jx подойдет
для сечения, изображенного на рис. 25.8?
6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси JXo = 174см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.
Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).
7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).
8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.
При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.
При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сечения деформированию.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выражение, получим статический момент площади сечения:
Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.
Статический момент используется при определении положения
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 209
центра тяжести сечения:
Формулы для определения положения центра тяжести можно записать в виде
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называют главными центральными осями сечения.
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:
1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох
210 Лекция 25