Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами

Контрольные вычисления

Формулы Результаты вычислений Формулы   Результаты вычислений
a 6 378 245,0 м 0,25e2 sin2 Bср. 0,000 909 66
(1-e2) 0,993 306 58 1,25e2sin2 Bср. 0,004 548 32
a(1-e2) 6 335 552,717 1+0,25e2 sin2 Bср. 1,000 909 66
1/6 ρ" 8 080 228·10-13 1 - 1,25e2sin2 Bср. 0,995 451 68
B2 49°29'58,938" 0,25e2 sin2 B'ср. 0,000 938 67
B1 45°30'17,221" 1,25e2sin2 B'ср. 0,004 693 36
Bср. 47°30' 08,079" 1+0,25e2 sin2 B'ср. 1,000 938 67
B'ср. 48°30' 03,508" 1 - 1,25e2sin2 B'ср. 0,995 306 64
B"ср. 46°30' 12,650" 0,25e2 sin2 B"ср. 0,000 880 57
e2 0,006 693 42 1,25e2sin2 B"ср. 0,004 402 84
0,25e2 0,001 673 36 1+0,25e2 sin2 B"ср. 1,000 880 57
1,25e2 0,008 366 77 1 - 1,25e2sin2 B"ср. 0,995 597 16
sinBср. 0,737 303 80 Mср. 6 370 290,021
sinB'ср. 0,748 966 99 M'ср. 6 371 402,932
sinB"ср. 0,725 416 58 M"ср. 6 369 174,032
sin2 Bср 0,543 616 89 (B2 - Bср.)" 7 190,859"
sin2 B'ср 0,560 951 55 (B2 - Bср.)"/6 ρ" 0,005 810 378
sin2 B"ср 0,526 229 21 (Mср. + 4М"ср. +М1) 38 215 042,473
(Bср. - B1)" 7190,858 X2 222 121,530
(Bср. - B1)" /6 ρ" 0,005 810 377 X1 222 043,811
M1 6 368 056,324 X2 + X1 = S м 444 165,341 м
M2 6 372 511,409    
(M2 + 4M'ср.ср.) 3 822 8413,158    

Пример 2. Вычисление длины дуги параллели между двумя точками, лежащими на этой параллели, если даны разность долгот точек l = L2 - L1 = 0°45'46,882" и широта параллели B = 54°32'19,354".

Схема решения

Формулы Результаты вычислений Формулы Результаты вычислений
l 0°45'46,882" 1-0,25e2 sin2 B 0,99888986
B 54°32'19,354" 1-0,75e2 sin2 B 0,99666958
a 6 378 245 м N 6 392 453,854 м
0,25e2 0,00167336 cos B 0,58015280
0,75e2 0,00502006 l" 2 746,882"
sin B 0,81450766 1/ρ" 4 848 137∙10-12
sin2 B 0,66342273 N cos B 3 708 600,002
0,25e2 sin2 B 0,00111014 l"/ρ" 0,01331726
0,75e2 sin2 B 0,00333042 SП 49 388,390 м

- 37 -

Контрольные вычисления

Формулы Результаты вычислений Формулы Результаты вычислений
N cos B 3 708 600,002 Y1 32 363,641
1/ρ" 4 848 137∙10-12 Y2 81 752,029
(l"+1800")/ρ" 0,0220439060 SП=Y2-Y1 49 388,388 м
1800"/ρ" 0,0087266466    

Вычисление длин сторон и площади съёмочной трапеции

 
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

Рис. 22. Съёмочная трапеция

Съёмочная трапеция, строго говоря, представляет собой часть поверхности эллипсоида, ограниченную меридианами и параллелями

(рис. 22). Поэтому стороны трапеции равны длинам дуг меридианов и параллелей, вычисляемых по формулам (79) и (91). Северная и южная стороны рамки являются дугами параллелей a1 и а2, а восточная и западная - дугами меридианов с, равными между собой. Диагональ трапеции d.

- 38 -

Рабочие формулы:

(размеры в сантиметрах)

 
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

(98)

где m - знаменатель масштаба съёмки; l = LC - LD - разность долгот точек C и D; N1, N2 - радиусы кривизны первого вертикала в точках с широтами B1 и B2; Mm - радиус кривизны меридиана в точке с широтой

       
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru   Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru
 

Стороны трапеции в формулах (98) получаются в сантиметрах.

Практически съёмка масштабов 1 : 1000 000 - 1 : 25 000 выполняется с использованием 6- градусной зоны, съёмка более крупного масштаба - с использованием 3 - градусной зоны. В указанных случаях искажения длин сторон рамок съёмочных трапеций в проекции Гаусса - Крюгера ничтожно малы и ими пренебрегают.

Пример 1. Рассчитать размеры трапеции масштаба 1:50000, ограниченной параллелями с широтами В1 = 50°00' и B2 = 50°10'. Интервал трапеции указанного масштаба по долготе будет l = 15' = 900". Величина ∆B = B2 - B1 = 10' = 600".

В таблице радиусы кривизны меридиана M и первого вертикала N вычисляются по формулам:

       
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru
 
    Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

- 39 -

Схема решения

  Формулы   Результаты вычислений     Формулы   Результаты вычислений  
a 6 378 245 1-0,25e2sin2B1 0,99902
a(1-e2) 6 335 552 1-0,75e2sin2B1 0,99705
e2 0,00669342 1-0,25e2sin2B2 0,99901
0,25e2 0,0016734 1-0,75e2sin2B2 0,99704
0,75e2 0,0050201 1+0,25e2sin2Bm 1,00098
1,25e2 0,0083668 1-0,25e2sin2Bm 0,99508
B1 50°00'00" N1 6 390 847
B2 50°10'00" N2 6 390 847
Bm 50°05'00" Mm 6 373 116
sin B1 0,76604 1/ ρ" 4 848 137∙10-12
sin B2 0,76791 N1 /ρ" 30,984
sin Bm 0,76698 N2 /ρ" 30,984
sin2 B1 0,58682 Mm / ρ" 30,898
sin2 B2 0,58969 a1 35,849
sin2 Bm 0,58826 a2 35,725
cos B1 0,64279 c 37,078
cos B2 0,64056 a1 a2 1280,70
100l/m 9/5 = 1,8 d2 2655,48
100∆B/m 6/5 = 1,2 d 51,531
       
       

Пример 2. Вычисление на поверхности эллипсоида Красовского площади трапеции масштаба 1 : 100 000, ограниченной параллелями с широтами В1 = 50°00' и B2 = 50°20' с точностью до 0,001 км2. Разность долгот меридианов, ограничивающих лист карты этого масштаба равен

l = ∆L = L2 - L1 = 30' = 1800".

Основные формулы:

 
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

, (99)

 
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

где

 
  Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам со средними аргументами - student2.ru

- 40 -

Схема решения

  Формулы   Результаты вычислений     Формулы   Результаты вычислений  
b 6 356,863 м sin7 B1 0,15480242
e2 0,00669342 (2/3) e2 0,00446228
1/ ρ" 4 848 137∙10-12 (3/5) e4 0,00002688
L2 - L1 1800" (4/7) e6 0,00000017
sin B2 0,76977104 I 0,00002942
sin3 B2 0,45612587 II 0,00000017
sin5 B2 0,27027622 III 0,00000000
sin7 B2 0,16015148 b2(L2 -L1)"/ ρ" 352 641,9 км2
sin B1 0,76604444 b2 40 409 707,2 км2
sin3 B1 0,44953332 sinB2 -siB1+I+II+III 0,00375619
sin5 B1 0,26379698 P 1324,590 км2

Наши рекомендации