Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон S = a · b
где S - Площадь прямоугольника,
a, b - длины сторон прямоугольника.

Формулы площади трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

S =		(a + b) · h

где S - Площадь трапеции,
a, b - длины основ трапеции,
c, d - длины боковых сторон трапеции,

Билет № 6. Вопрос 1.

Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трёхчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ax2+bx+c=0 — это такое значение x, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0=0.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений.

Примеры

Билет № 6. Вопрос 2.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов - прямой.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2=a2+b2.

Известны очень многие доказательства теоремы с разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.

1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a+b. Площадь квадрата равна 2 (a+b):

2. Если провести гипотенузы c, очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.

Стороны четырёхугольника равны c, а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников 4⋅ =2ab и площади квадрата c², образованного гипотенузами: S=c²+2аb

3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки a и b, при этом длина стороны квадрата не меняется.

Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами a и b a²+b² и двух площадей прямоугольников аb + аb: S=a²+b²+2ab

4. Из этого следуют выводы: S=c²+2аb и S=a²+b²+2ab

Площадь четырех треугольников составляет и c²=a²+b², что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.

Обрати внимание!

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Пример:

- Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см прямоугольным?

Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:

92=62+72;81≠36+49, значит, этот треугольник не прямоугольный.

- Является ли треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см прямоугольным?

Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:

132=122+52;169=144+25, значит, этот треугольник прямоугольный.

Билет № 7. Вопрос 1.

Для построения графика функции дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня.
Итак, мы составили таблицу значений функции:

x				6,25
y				2,5

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости. Они располагаются некоторой линии, начертим ее. Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х2, можно без труда с его помощью построить график функции , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Свойства функции
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель — ветвь параболы (на рисунок).

1. Область определения функции — луч [0, +оо).
2. у = 0 при х = 0; поэтому начало координат принадлежит графику функции.
3. у > 0 при х > 0, график расположен в первой координатной четверти
4. Большему значению аргумента, соответствует большее значение функции, чем больше х, тем больше у.

5. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. Т.к. вообще, какое бы положительное число ни взять, всегда найдется такое х, что будет выполняться неравенство > m

Функция , ее свойства и график

Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k=0. Рассмотрим сначала случай, когда k=1; таким образом, сначала речь пойдёт о функции y=

Чтобы построить график функции y= , дадим независимой переменной x несколько конкретных значений и вычислим (по формулe y= ) соответствующие значения зависимой переменной y. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если x=1, то y=1 (напомним, что мы пользуемся формулой y= );

Второй этап. Рассмотрим отрицательные значения

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x=0.

2. y>0 при x>0; y<0 при x<0.

3. Функция убывает на промежутках (−∞;0) и (0;+∞);

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Функция непрерывна на промежутках (−∞;0) и (0;+∞) и претерпевает разрыв при x=0.

6. Область значений функции — объединение двух открытых лучей (−∞;0)∪(0;+∞).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x=0.

2. y>0 при x<0; y<0 при x>0.

3. Функция возрастает на промежутках (−∞;0) и (0;+∞);

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Функция непрерывна на промежутках (−∞;0) и (0;+∞) и претерпевает разрыв при x=0.

6. Область значений функции — объединение двух открытых лучей (−∞;0)∪(0;+∞).

Билет № 7. Вопрос 2.

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников