Обработка результатов прямых измерений

Обработка результатов прямых измерений проводится в соответствии с ГОСТ 8.207-78 "Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения". При прямых измерениях мы получаем n значений измеряемой величины x; x₁; ... x_n. За результат измерений принимают среднее арифметическое значение результатов наблюдений:

Абсолютную ошибку среднего арифметического характеризуют средним квадратическим отклонением:

Зная среднее квадратическое отклонение s_х, можно определить абсолютную случайную ошибку:

Величина этой ошибки зависит как от числа выполненных измерений n, так и от величины ожидаемой надежности получаемых результатов (g).

Безразмерный коэффициент t_{(g, n)} является функцией n и g. Его называют коэффициентом Стьюдента. В лабораторной практике результаты измерений принято представлять с надежностью 95% (g = 0,95). Значения t для указанной надежности приведены в таблице 1.

Таблица 1

γ \ n
0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,1

Абсолютная случайная ошибка Dх_случ. определяет полуширину интервала, которому принадлежит истинное значение измеряемой величины. Интервал

,

которому принадлежит истинное значение измеряемой величины с заданной надежностью g, называют ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ.

Процесс обработки результатов прямых измерений можно представить с помощью следующего алгоритма.

1. Найти среднее значение .

2. Найти отклонение от среднего значения каждого измерения.

3. Найти квадрат отклонения.

4. Найти сумму квадратов отклонений.

5. Найти среднее квадратическое отклонение .

6. Найти по таблице коэффициент .

7. Найти абсолютную погрешность .

8. Окончательный результат измерений представить в виде: .

9. Относительную ошибку полученного результата определить по формуле: .

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Способ № 1

В общем случае искомая величина Z является некоторой функцией непосредственно измеряемых величин А, В, С, ...:

В результате проведения n опытов мы получим n наборов измеряемых величин А₁, В₁, С₁, … ; А₂, В₂, С₂, … ; А_n, В_n, С_n, ... . Каждый набор дает свое значение искомой величины:

Если опыт проводится n раз при неизменных условиях, то каждую измеряемую величину (А, В, С, ...) можно обработать как величину, полученную при прямых измерениях, т.е. определить ее среднее значение и оценить абсолютные ошибки (DА, DВ, DС, ...). Среднее значение искомой величины Z тогда определится по формуле:

Когда условия опыта неодинаковы, величину Z определяют в каждом опыте, а ее среднее значение подсчитывают по формуле:

Абсолютная ошибка определяется из соотношения:

,

в котором DZ_A, DZ_B, DZ_C, ... - частные абсолютные ошибки, обусловленные ошибками измерений величин А, В, С, … соответственно.

Частные абсолютные ошибки представляют собой приращения Z, вызванные приращением величин А, В, С, ... на величину соответствующей абсолютной ошибки DA, DB, DC, ... , т. е.

Способ № 2

В тех случаях, когда проделывается только одно измерение или получается ряд одинаковых значений измеряемой величины, используется следующий способ оценки погрешности.

Предположим, отыскиваемая величина определяется следующим выражением:

,

где:

а – измеряемая величина;

b – табличная константа;

с – приближенное число, например p, е.

1. Логарифмируем выражение по основанию е, используя свойства логарифма.

ln x = ln a + ln b – 2 ln c

2. Находим полный дифференциал как сумму частных дифференциалов.

3. Бесконечно малые величины дифференциалов dx, da, db, dc принимаем за конечные величины абсолютных погрешностей измеренния Dx, Da, Db, Dc. Отсюда получаем:

Учитывая, что все участники приносят свои ошибки, в полученном выражении « - » заменяем на знак «+»

Из данного выражения следует, что относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей всех участников вычислений.

Пример: При вычислении коэффициента поверхностного натяжения используется выражение:

отсюда следует, что