Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Предположим, что генеральная совокупность является нор­мальным распределением (здесь вместо вероятности следует ис­пользовать относительную частоту). Нормальное распределение полностью определено математическим ожиданием (средним зна­чением) и средним квадратическим отклонением. Поэтому если по выборке можно оценить, т. е. приближенно найти, эти парамет­ры, то будет решена одна из задач математической статистики — определение параметров большого массива по исследованию его части.

Как и для выборки, для генеральной совокупности можно оп­ределить генеральную среднюю х_r — среднее арифметическое значение всех величин, составляющих эту совокупность. Учиты­вая большой объем этой совокупности, можно полагать, что гене­ральная средняя равна математическому ожиданию:

где X — общая запись случайной величины (значения изучаемого признака) генеральной совокупности.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной сово­купности от их генеральной средней оценивают генеральной дис­персией

(N — объем генеральной совокупности) или генеральным сред­ним квадратическим отклонением

Точечная оценка.Предположим, что из генеральной совокуп­ности производятся разные выборки; делают это так, чтобы вся генеральная совокупность сохранялась неизменной. Для опреде­ленности будем считать объемы этих выборок одинаковыми и рав­ными п. Их выборочные средние х_1, х₂, ..., x_i., ... являются случай­ными величинами, которые распределены по нормальному зако­ну (см. конец § 2.3), а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т. е.генеральной средней:

На практике иногда при достаточно большой выборке за генераль­ную среднюю приближенно принимают выборочную среднюю. Для дисперсий положение получается несколько иным. Математическое ожидание дисперсий различных выборок [M(D_вi)], со­ставленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии:

Прибольшом п получаем

Длягенерального среднего квадратического отклонения соответ­ственно из (3.14) и (3.14а) получаем:

На практике иногда при достаточно большой выборке выбороч­ное среднее квадратическое отклонение приближенно принимают за генеральное среднее квадратическое отклонение. Так, если счи­тать, что статистическое распределение (см. табл. 5) является вы­боркой из некоторой генеральной совокупности, то на основании (3.6) и (3.9) можно заключить, что для этой генеральной совокуп­ности x_r ≈ 3,468 кг и σ_г ≈ 0,3896 кг.

Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений определенными числами называется то­чечной оценкой.

Интервальная оценка генеральной средней.Точечная оцен­ка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при не­большом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интер­вал, или доверительные границы), в котором с определенной (до­верительной) вероятностью р находится генеральная средняя.

Иначе говоря, р определяет вероятность, с которой осуществ­ляются следующие неравенства:

зуя функцию (3.18). Пределы интегрирования необходимо взять из выражения (3.19):

где положительное число е характеризует точность оценки.

Кроме доверительной вероятности используют «противопо­ложное» понятие — уровень значимости

который выражает вероятность непопадания генеральной сред­ней в доверительный интервал.

Доверительную вероятность не следует выбирать слишком ма­ленькой (не следует ее обесценивать). Наиболее часто р прини­мают равной 0,95; 0,99; 0,999. Чем больше р, тем шире интервал, т. е. тем больше е. Чтобы установить количественную связь между этими величинами, необходимо найти выражение для довери­тельной вероятности. Это можно сделать, используя (2.17), одна­ко нужно понять, что при этом следует взять за функцию распределения вероятностей и какие принять пределы ин­тегрирования. Рассмотрим этот вопрос.

Итак, генеральная совокупность распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (средним значением) х_Г и дисперсией D_T. Если из этой генеральной совокупности брать раз­ные выборки с одинаковым объемом п, то можно для каждой вы­борки получить среднее значение х_в. Эти средние значения сами являются случайными величинами. Их распределение, т. е. рас­пределение средних значений разных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, будет нормальным со средним значением, равным среднему значению генеральной совокупности х_т, дисперсией — и средним квадратическим отклонением (см. конец § 2.2).

Таким образом, х_в уже выступает как случайная величина, для нее можно записать следующую функцию распределения вероят­ностей [см. (2.22)]:

Из (3.16) можно записать для х_в следующие неравенства:

Вероятность того, что х_в попадает в этот интервал (доверитель­ную вероятность), можно найти по общей формуле нахождения р по х или т по р можно воспользоваться таол. ( или таблицей функции Ф (см. [2]).

Результаты интегрирования (3.20) найдем, используя функ­цию Ф (см. § 2.3). По формуле (2.25) получим

Обозначая

и учитывая (см. § 2.3), что Ф(-τ) = 1 - Ф(τ), получим из (3.21):

Таблица 7

τ
0,0	0,5	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,4
0,9
1,4
1,9

Хотя неравенства (3.16) и (3.19) по существу идентичны, но для практических целей важнее запись (3.16), так как она позво­ляет решить главную задачу — при заданной доверительной веро­ятности и найденной выборочной средней найти доверительный интервал, в который попадает генеральная средняя.

Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение εиз формулы (3.22):

Практически при нахождении доверительного интервала по фор­муле (3.24) берут выборочную среднюю некоторой конкретной вы­борки (объем п > 30), а вместо генеральной средней квадратичной используют выборочную среднюю квадратичную этой же выборки. Поясним это некоторым примером. Вновь обратимся к данным таблиц, считая их выборкой. Найдем доверительный интервал для генеральной средней, из которой эта выборка получена, счи­тая доверительную вероятность равной р = 0,95. Из (3.23) для такой доверительной вероятности получаем: Ф(τ) = 0,975.

В табл. 7 левый вертикальный столбец содержит значения с точ­ностью до десятых долей, а верхняя горизонтальная строчка дает сотые доли т, поэтому для Ф(х) = 0,975 имеем х = 1,9 + 0,06= = 1,96. Подставляя это значение τ, выборочную среднюю (3.6), выборочное среднее квадратическое отклонение (3.9) и объем вы­борки (п = 100) в выражение (3.24),

или

Интервальная оценка генеральной средней при малой вы­борке.При достаточно большом объеме выборки можно сделать вполне надежные заключения о генеральной средней. Однако на практике часто имеют дело с выборками небольшого объема (п < 30). В этом случае в выражении доверительного интервала (3.16) точ­ность оценки определяется по следующей формуле:

где t — параметр, называемый коэффициентом Стьюдента (его на­ходят из распределения Стьюдента; оно здесь не рассматривает­ся), который зависит не только от доверительной вероятности р, но и от объема выборки п. Коэффициент Стьюдента. Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение из формулы (3.26): 4п - 1

Поясним использование формулы (3.26) следующим примером. Предположим, что из генеральной совокупности, которую исполь­зовали при составлении выборки (см. табл. 5), взяли 10 случайных данных и получили следующее распределение (табл. 9):

Таблица 9

Масса, кг	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,7	3,8	4,0	4,4
Частота

Отсюда можно вычислить х_в = 3,54 кг, D_B = 0,19156 кг² и с_в = 0,43767 кг. Задав доверительную вероятностью = 0,95, находим для объема выборки п — 10 параметр t = 2,26. Подставляя эти данные в (3.26), получаем для доверительного интервала [см. (3.27)]:

Полезно сопоставить соотношения, полученные для большой (3.25) и малой (3.28) выборок.

Интервальная оценка истинного значения измеряемой ве­личины.Интервальная оценка генеральной средней может быть ис­пользована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую вели­чину. При этом по разным случайным причинам, вообще говоря, получают разные значения: x₁ x₂, х₃, ... . Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (x_ист) совершенно точ­но измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства изме­рительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для этого значения.

Если значения x₁ x₂, х₃, ... рассматривать как варианты выбор­ки, а истинное значение измеряемой величины х_ист как аналог ге­неральной средней, то можно по описанным выше правилам найти доверительный интервал, в который с доверительной вероятно­стью р попадает истинное значение измеряемой величины. Приме­нительно к малому числу измерений (п < 30) из (3.27) получим:

где х — среднее арифметическое значение из полученных измере­ний, а σ — соответствующее им среднее квадратическое отклоне­ние, t — коэффициент Стьюдента.

Более подробно и разносторонне оценка результатов измере­ний рассматривается в практикуме (см. [1]).

Проверка гипотез

В медико-биологических исследованиях актуальной является задача сравнения выборок, полученных в результате эксперимен­та, заключающегося в том или ином воздействии на объект. Фак­тически конечный результат исследования зависит от достовер­ности различий значений случайной величины в контроле (до воз­действия или без него) и опыте (после воздействия). Наиболее просто решается задача определения достоверности различий ста­тистических распределений, если предварительно для выборок рассчитаны доверительные интервалы. Положим, есть два статис­тических распределения некоторых случайных величин X и У. Пусть генеральные средние этих распределений с доверительной вероятностью р = 0,95 находятся в доверительных интервалах (х_в ± е_х) и (у_в ± s ), и пусть при этом у_в > х_в. Если соблюдается нера­венство (г/_в - ε ) > (х_в + ε), то не вызывает сомнения, что случай­ная величина У существенно больше случайной величины X (см. рис. 3.3, а). Вероятность этого превышает 0,95.

На рис. 3.3, б представлен вариант, когда выборки частично пе­ресекаются, т. е. когда выполняется неравенство (у_в - е_у) < (х_в + г_х). В этом случае целесообразно оценивать достоверность различий вы­борочных средних х_в и у_в с помощью дополнительных расчетов. Наиболее просто это сделать, предполагая, что случайные величи­ны X и У распределены по нормальному закону. Условием сущест­венности различия двух опытных распределений, являющихся вы­борками из различных генеральных совокупностей, является вы­полнение следующего неравенства для опытного и теоретического значений критерия Стьюдента: t_oa > t_eop. Для нахождения значе­ния t_ов используют следующую формулу:

Здесь σ_х и σ_y — выборочные средние квадратические отклоне­ния, п_х и п_у — число вариант в выборках (объемы выборок), х_в и y_в — выборочные средние значения.

Теоретическое значение t_Teop находят по таблице 10, входными величинами которой являются доверительная вероятность р и па­раметр , связанный с числом вариант в выборках. Этот параметр определяют следующим образом. Если а_х ≈σ , то f = п_х + п - 2. Если же а_х и а различаются на порядок и более, то величина определяется по формуле:

Используя этот способ оценки достоверности различия выбо­рочных средних значений двух выборок, следует придерживаться такой последовательности действий. Во-первых, по эксперимен­тальным данным нужно найти значения выборочных средних и средних квадратических отклонений для каждой выборки. За­тем, сравнив величины σ_х и σ_y, найти величину f. После этого сле­дует задать определенное значение доверительной вероятности и по таблице 10 найти t_теор. Затем по формуле (3.30) рассчитать i_on.

Если при сравнении теоретического и опытного критериев Стьюдента окажется, что t_ou > t_Teop, то различие между выборочными средними значениями случайных величин X и Y можно считать существенным с заданной доверительной вероятностью. В проти­воположном случае различия несущественны.

Представленный выше способ оценки достоверности различий выборок по выборочным средним является довольно простым. Су­ществует большое число тестов и критериев для сравнения выбо­рок и составления заключения о достоверности их различий. Как правило, при этом рассматривают вероятность двух взаимоисклю­чающих гипотез. Одна из них, условно называемая «нулевой» ги­потезой, заключается в том, что наблюдаемые различия между вы­борками случайны (т. е. фактически различий нет). Альтернатив­ная гипотеза означает, что наблюдаемые различия статистически достоверны. При этом для оценки обоснованности вывода о досто­верности различий используют три основных доверительных уров­ня, при которых принимается или отвергается нулевая гипотеза. Первый уровень соответствует уровню значимости (3₀ < 0,05) для второго уровня р_о < 0,01. Наконец, третий доверительный уровень имеет р₀ < 0,001. При соблюдении соответствующего условия ну­левая гипотеза считается отвергнутой. Чем выше доверительный уровень, тем более обоснованным он считается. Фактически значи­мость вывода соответствует вероятности р = 1 . В медицинских и биологических исследованиях считают достаточным уже первый уровень, хотя наиболее ответственные выводы предпочтительнее делать с большей точностью. Одной из методик, позволяющих су­дить о достоверности различий статистических распределений, яв­ляется ранговый тест Уилкоксона. Под рангом (R_i) понимают но­мер, под которым стоят исходные данные в ранжированном ряду. Если в двух сравниваемых выборках данному номеру соответству­ют одинаковые варианты, то рангом этих вариант является сред­нее арифметическое двух рангов — данного и следующего за ним (см. пример). Покажем, как используется этот тест на примере сравнения двух равных по объему выборок.

Измеряли массу 13 недоношенных новорожденных (в граммах) в двух районах А и Б большого промышленного центра, один из которых (Б) отличался крайне неблагоприятной экологической обстановкой. По­лучены два статистических распределения (А) и (Б):

А: 970 990 1080 1090 1110 1120 ИЗО 1170 1180 1180 1210 1230 1270

Б: 780 870 900 900 990 1000 1000 1020 1030 1050 1070 1070 1100

Следует решить вопрос о том, достоверны ли различия между этими статистическими распределениями.

Составим общий ранжированный ряд с указанием номеров соответст­вующих вариант (R_{A Б}) — рангов (строки А и Б соответствуют выборкам):

Как видно, варианта 990 встречается в первой и второй выборках, по­этому для нее рангом является среднее арифметическое значение 6 и 7.

Далее в ряду остаются лишь варианты первой выборки, поэтому ряд не закончен. Нулевая гипотеза состоит в том, что различий между выбор­ками нет (они случайны и потому несущественны). Ранговый тест учиты­вает общее размещение вариант и размеры выборок, но не требует знания типа распределения. Основной вывод о верности нулевой гипотезы дела­ется на основании анализа минимальной суммы рангов (из двух сумм для сравниваемых выборок), т. е. критерием является величина Т = Я_Б (учитывая, что R_в < Z -R_A). При этом пользуются специальными табли­цами. В частности, если число вариант в выборках одинаково (п₁ = п₂).

Критические значения величины r (теста Уилкоксона) при п₁ = п₂ = п для разных значений уровня значимости/

В этой таблице указаны две входные величины: число вариант в вы­борках и значение третьего и второго уровней значимости (Р_о = 0,05 и 0,01). В нашем случае Т = R_B = 110,5, что меньше табличного значе­ния для п = 13 и β_о < 0,01. Следовательно, на втором уровне значимости (р > 0,99) можно отвергнуть нулевую гипотезу. Таким образом, различия выборок достоверны с вероятностью, превышающей 0,99.