Эулидавы и унитарные пр-ва

Жарданавая нормальная форма матрицы

Опр: Няхай Р-поле, λ€P

клетка Жардана парадку n адпаведнай значэнню λ

(матрица λ1 по диагонали остальные 0)

Опр:Клеткава дыяган. матрица на дыяг якой стаяць адвольныя Кл Жардана наз Жар матрицай

(матрица А1.А2..Аn – диагональ остальные 0)

Опр: Жар нормальной формой матр А наз адволья падобная её матр Жард

Сув: ранг клетки дыяг матрицы равен сумме рангов у яе дыяг клетках

Змена клетак на дыяганали=змене парадку базисных вектаров

Теор:Няхай А€Pn*k, I-норм Жард форма матрицы:

1) характ палином C(x) матрицы А раскладаееца в P на линейн множники

2)Дыяган эл-ты матр I-это все корни C(x) з уликам их кратности и тольки яны

3)кали λ-корань палинома C(x)кратности k, тогда In(λ)-клетка Ж, и n<=k;

4)кол-во клеток Ж, адпаведных значению λ роунае n-rankB, где B=A-λEn

5)кол-во клеток Ж матр I,равно l=rankB^(2-1)-2rankB^2+rankB^(2+1)

Теор2:Для иснавання ЖНФ матр А неох и дост чтобы характ палином матр А раскладауся над основным полем на лин мн-ки ЖНФ з дакладнасцю да парядка клеток на диагонал

Білет 26.Квадратычныя формы.

Азн.Квадр.формай ад n зменных x1,x2,…,xn (1) над полем Р наз. Паліном выгляду Азн.Матрыца A=(αij)наз.матрыцай кв.формы(2).

Азн.Рангам квадр.формы наз.ранг яе матрыцы.

Азн.Квадр.форма F(x)ад n зменных(1)эквівалентна квадратычнай форме G(y)ад зменных (y1,…,yn),калі F(x)ператвараецца у G(y) у выніку дастасавання незвыроднага лін.пераўтв.змееных над асноўным полем.

Тэарэма.Квадр.ф.F(x)і G(y)ад n зменных над полем Р эквівал. т.і т.т.,калі іх матрыцы А і В звязаны роўнасцю: (GL(n,P)-поўная лін.група ступені n над P)

Эулидавы и унитарные пр-ва

Опр:Няхай В-лин пр-во над R и есть адлюстраванне V*V->R;(a;b)->ab; гэта адлюстраванне наз скалярным здабыткам, кали выконваецца наступныя умовы:1)a,b,c;;;;λ,β

(λ a+ βb)= λ(ac)+β(bc) 2)ab=ba 3) a не 0 ->a*a>0

4)a(λa+βc)= λ(ab)+ λ(ac)

Опр:Ф-я которая отобр V*V. Для которой 1)4)-билинейная 1)2)4)-симметр ф-ей 3)и сим и билин

Теже св-ва что выше тока везде вектора

Опр:Ф-я которая отображ V*V->С для которой 1)4) -эрмитовая билинейная +2)симетр эрм бил 3)гиметричная эрм бил ф-я

Опр:Лин пор-во над R для которой вызначаны скалярный здабытак наз Эвклид про-во

Лиин прасторв над С, для которой вызначаны скалярны здабытак наз унитарнай прасторай

Прыкл:1 V3*V3->R ab=!a!*!b!cosγ V3-Эвкл пр

2 Rⁿ *R->R 3 Cⁿ *Cⁿ->C

Теор: Адвольную канцамерную прастору можна пераутварыць у Эуклидаву унитарную прастору

Опр:Даужынёй Вектара а Эвкл пр-ры наз величина !а!=корень(а*а) для а не 0,и !λа!=!λ!*!а!

Теор:(нероу трёхуг)Для адвольных вектароу а и b Эв унит пр-ры справедливо !a+b!≤!a!+!b!

Теор:(неровн Кашы-) :a,b з Эвк унит пр-ры !ab! ≤!a!*b!

Опр:из !ab! ≤!a!*b! => сущест угол между векторами

34.матрыца скалярнага здабытку.скалярны здабытак у артанармаваным базісе.

Няхай V-n-мерная Эуклідавая прастора і e1…en-(1)базіс V

Няхай U,υЄV, U= ,υ= ,

Тады вылічэнні скалярнага здабытку Uυ=(α1 e1+…αn en)(β1 e1+…+βn en)= (2)

Азначэнне:Матрыца A=(ei ej)-матрыца n*n называецца матрыцай скалярнага здабытку у базісе (1).Абазначым X=(αi),Y=(βi),i=1;n-каардынатныя слупкі U i υ,тады Uυ= X^T AY,A= A^T => Uυ= X^T A^TY значэнне білінейнай сіметрычнай формы з матрыцай A ад каардынатных вектарау U і υ у базісе (1).

Тэарэма:няхай V-n-мерная рэчаісная лінейная прастора,AЄ тады матрыца A-матрыца скалярнага здабытку у некаторым базісе т.і т.т,калі A-сіметрычная матрыца,усе вуглавыя міноры якой дадатныя, гэта значыць,што матрыца дадатна вызначаная квадратычная форма.

Тэарэма:Няхай A-матрыца скалярнага здабытку у базісе (1) Эуклідавай прасторы V,C-матрыца пераходу ад базісу (1) да V1…Vn (3),тады матрыца скалярнага здабытку у базісе (3) ёсць матрыца C^TA^T,гэта значыць, што матрыца скалярнага здабытку пры пераходзе да новага базісу змяняецца, як матрыца квадратычнай формы незвыродных пераутварэнняу зменых.

Доказ: Uυ= X^T AY.Калі X’ i Y’-каардынатныя слупкі у базісе (3),то X=CX’ ;Y=CY’ =>Uυ= (CX’)^T

ACY’= (X’)^T (C^T AC)Y’.

Азначэнне:Няхай AЄ C_n*n,A=(αij),матрыца A^* =(βij)Є C_n*n,дзе βij= αij,называецца Эрмітавай транспанаванай да матрыцы A.

Уласцівасці:

1)калі A i BЄ C_n*n,тады (B+A)^* = A^*+B^*.

2) (αA)^*=αA^*.

3)Калі A i B-такія матрыцы,што вызначаны здабытак AB,тады вызначаны здабытак B^*A^* ,прычым

(BA)^* = B^*A^*.

Азначэнне:Матрыца AЄ C_n*n называецца эрмітавай,калі яна сама эрмітавая A=A^*.

Няхай U,υЄV-вектары n-мернай унітарнай прасторы e1…en-базіс V (4).Вектары U i υ у базісе маюць каардынатныя слупкі X=(αi),Y=(βi).Тады скалярны здабытак Uυ= = AY,дзе A=(ei ej)=>A-эрмітавая матрыца.

Тэарэма:Няхай A-матрыца скалярнага здабытку унітарнай прасторы V,C-матрыца пераходу ад базісу (4) да базісу V1…Vn(5),тады матрыца скалярнага здабытку у (5)- C^* AC.

Тэарэма:Няхай (1) базіс эуклідавай або унітарнай прасторы V.базіс (1)-артанармаваны,калі і толькі калі U,υЄV,

=(αi); =(βi),скалярны здабытак Uυ= = (для Эуклідавай)

Uυ = = (для унітарнай)

Доказ:

1) Uυ= A ,дзе A-матрыца скалярнага здабытку у (1).

Базіс (1) артанармаваны,г.зн A=E=> Uυ= .

2)Няхай Uυ= Y

ei ei=1

ei ej=0.

Білет 36Артаганальны дадатак падпрасторы.

Азн.Няхай -эўкл.(уніт.)пр.Артаганальным дадаткам падпрасторы U наз.мн-ва

Тэарэма.Для адвольнай (канцамернай падпрасторы) артаганальны дадатак .Калі dimV<∞,U≠0(вектор),тады .

Азн. адназн. .

U наз.артаганальнай праекцыяй вектару a на падпрастору U.