Условие усталостной прочности
Отсюда определяется диаметр полого вала
и диаметр сплошного вала
.
Значения допускаемых напряжений устанавливаются по формуле
Величина коэффициента концентрации напряжений ориентировочно устанавливается по табл. 3.
Таблица 3
Коэффициент, характеризующий концентрацию напряжений при проектировочном расчете на выносливость
| № п/п | Вид концентратора | |
| Галтель r/d≥0,02, шпоночная канавка, скользящая посадка ступицы или кольца подшипника на вал | 2,0 | |
| Поперечное отверстие | 2,1 | |
| Шлицы, шестерня-вал | 2,5 | |
| Прессовая посадка ступицы или кольца подшипника на вал | 4,5 | |
| Примечание. Для валов и осей из сталей с ≥800МПа значения увеличивают на 30% |
Величины допускаемых запасов прочности не должны быть ниже установленных опытом эксплуатации и конструирования валов аналогичных машин. Если отсутствуют соответствующие данные, то значения минимально допускаемого запаса прочности можно принимать
= 1,7 – 2,5.
Большие значения – для валов диаметром > 100 мм и из материала пониженной пластичности.
По результатам расчетов на статическую и усталостную прочность для диаметра вала выбирают большее из двух полученных значений.
Во втором случае, как было сказано выше, расстояние между опорами неизвестно, неизвестны также расстояния от мест приложения нагрузок до опор и, следовательно, эпюра изгибающих моментов не может быть построена. В этом случае проектировочный расчет ведется с учетом лишь действия крутящего момента.
Все расчетные зависимости, приведенные для первого случая, сохраняются и во втором.
При расчете на статическую прочность приведенный момент принимают равным
,
а условие статической прочности будет иметь вид
.
Диаметр полого вала из условия статической прочности
,
а диаметр вала сплошного сечения
.
При этом допускаемые статические напряжения
Значения допускаемых запасов прочности можно принять по данным табл. 2. Однако вследствие того, что влияние изгибающего момента не учитывается в рассматриваемом случае, для допускаемых запасов прочности следует принять более высокие значения, а именно:
- для пластичных материалов [S] I ≥ 2,2;
- для малопластичных и хрупких материалов [S] I ≥ 3,0.
При расчете на усталостную прочность амплитуда приведенного
момента
,
а условие усталостной прочности имеет вид
.
Тогда диаметр полого вала из расчета на усталостную прочность
,
а диаметр вала сплошного сечения
.
При этом допускаемые напряжения при расчете на усталостную прочность
Величина коэффициента концентрации напряжений определяется по табл. 3.
Величину минимального допустимого запаса прочности можно принимать ≥ 2,5.
Для исполнения принимают больший из двух значений диаметров вала, полученных расчетами на статическую и усталостную прочность.
В практических расчетах наиболее часто применяется методика приближенного расчета ориентировочного значения диаметра вала по зависимости
. (3)
Здесь Tp=T·K∂ - расчетное значение крутящего момента; - коэффициент динамичности при перегрузках.
Допускаемое напряжение кручения определяется приближенно по формуле . При этом значение условного запаса прочности следует выбирать по табл. 4. Определенное по формуле (3) значение диаметра вала уточняется при его конструировании.
Таблица 4
Значения условного запаса прочности [Sусл] при проектировочном расчете вала
| Вал, ось | Положение подшипников относительно зубчатых колес | |||
| симметричное | несимметричное | консольное | ||
| Быстроходный и промежуточный Тихоходный и выходной | 3,2 1,6 | 3,8 1,8 | 5,0 2,0 | |
3.2. Методика проверочного или уточненного расчета
Проверочный или уточненный расчет осей и валов заключается в том, что для каждого предположительно опасного сечения определяют действительный коэффициент запаса прочности и сравнивают его с допускаемым значением [ ]. При этом, в отличие от проектировочного (приближенного) расчета, учитывают все факторы, влияющие на усталостную прочность, а именно: характер изменений напряжений, концентрацию напряжений, влияние абсолютных размеров и состояние поверхности.
Запас усталостной прочности в любом сечении определяется по формуле
где – коэффициент запаса усталостной прочности по нормальным напряжениям;
– коэффициент запаса усталостной прочности по касательным напряжениям.
Величины запасов прочности необходимо определять с учетом конкретных условий работы валов и осей.
Наиболее часто встречаются случаи пропорционального изменения средних и амплитудных величин напряжений ( ), при котором разрушающий цикл остается подобным рабочему. Такое нагружение обычно происходит в валах, где нагрузки возрастают пропорционально передаваемому моменту. В этом случае запасы прочности определяются по максимальным напряжениям:
(4)
В некоторых случаях работы валов возможно и непропорциональное изменение составляющих цикла - так называемое сложное нагружение. Например, вал винта турбовинтового двигателя, передающий постоянный крутящий момент и тягу, может подвергаться крутильным колебаниям и изгибу от эволюционных перегрузок. Усталостное разрушение такого вала возможно в результате повышения переменных напряжений от крутильных колебаний и от изгиба при постоянных значениях средних напряжений и . В этом случае запасы прочности определяются по значениям амплитудных напряжений:
(5)
В формулах (4) и (5):
- и – пределы длительной выносливости материала вала (оси) соответственно при изгибе и кручении;
- и – переменные (амплитудные) составляющие циклов изменения напряжений соответственно при изгибе и кручении;
- и – средние (медианные) значения напряжений циклов при изгибе и кручении соответственно;
- и – суммарные коэффициенты концентрации напряжений в рассматриваемом сечении соответственно при изгибе и кручении;
- и – коэффициенты, учитывающие влияние асимметрии цикла изменения напряжений соответственно при изгибе и кручении и определяемые по формулам:
и .
Составляющие циклов напряжений для любого i – го расчетного сечения в общем случае определяются следующим образом:
Здесь , – амплитудные значения изгибающего и крутящего моментов в – м сечении; , – средние значения изгибающего и крутящего моментов в - м сечении; – осевая сила, вызывающая напряжения растяжения в сечении; , и – моменты сопротивления соответственно при изгибе и кручении, а также площадь - го расчетного сечения.
Наиболее распространенные формы сечений валов показаны на рис. 7.
Значения , и A для этих сечений определяются по приведенным ниже формулам:
- для круглого сечения (рис.7,а)
, и ,
где ;
- для сечения с одним или несколькими шпоночными пазами (рис.7,б)
, и
,
где - число пазов и
Рис.7
- для сечения с поперечным отверстием под штифт (рис.7,в)
,
и
;
- для сечения, проходящего через резьбу (рис.7,г), можно применять приведенные выше формулы, заменив наружный диаметр на внутренний диаметр резьбы (ширину и глубину паза под контровочную шайбу следует определять по справочникам);
- для сечения с прямобочными шлицами (рис.7,д), нагруженного и изгибающим и крутящим моментами, напряжения следует определять на диаметре впадин, тогда
, и ,
где ;
при нагружении только изгибающим моментом
;
- для сечения с наружными эвольвентными шлицами (рис.7,е), нагруженного и изгибающим и крутящим моментами, ; и ,
где - число шлицев, - модуль соединения и ;
при нагружении только изгибающим моментом нормальные напряжения определяются на диаметре выступов, тогда
;
- для сечения, проходящего через зубья шестерни, выполненной заодно с валом,
, и ,
где , - число зубьев, - модуль зацепления, и - диаметры вершин и впадин зубьев соответственно.
Для сплошных валов при расчете момента сопротивления следует принять: и .
Суммарные коэффициенты концентрации напряжений, учитывающие влияние всех факторов на усталостную прочность при изгибе и кручении, определяются по формулам:
.
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений и для некоторых концентраторов можно принимать по табл. 5÷10.
При наличии напрессованной на вал детали влияние абсолютных размеров носит специфический характер; в связи с этим в табл. 8 для напрессованных деталей приведены значения и .
Если в одном и том же сечении вала имеется несколько концентраторов напряжений, то в расчет принимаемся тот, у которого больше значение эффективного коэффициента концентрации или .
Сопротивление усталости валов в ряде случаев может быть повышено за счет технологического упрочнения материала вала путем химико-термической обработки (азотирования, цементации, цианирования), поверхностной закалки, наклепа поверхностного слоя, обкатки роликами, обдувки дробью и т.д.
Таблица 5
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с поперечными отверстиями
| , МПа | , МПа | ||||||
| 0,05÷0,15 | 0,15÷0,25 | 0,05÷0,25 | 0,05÷0,15 | 0,15÷0,25 | 0,05÷0,25 | ||
| 1,90 | 1,70 | 1,70 | 2,10 | 1,90 | 1,85 | ||
| 1,95 | 1,75 | 1,75 | 2,15 | 1,95 | 1,90 | ||
| 2,00 | 1,80 | 1,80 | 2,20 | 2,00 | 1,90 | ||
| 2,05 | 1,85 | 1,80 | 2,30 | 2,10 | 2,00 |
Таблица 6
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении для валов с галтельным переходом
| σв, МПа | Отношение h/r | ||||||||||||||
| Отношение r/d | |||||||||||||||
| 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,05 | 0,10 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,05 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,01 | 0,02 | ||
| Значения Kσ | |||||||||||||||
| 1,34 | 1,41 | 1,59 | 1,54 | 1,38 | 1,51 | 1,76 | 1,76 | 1,70 | 1,86 | 1,90 | 1,89 | 2,07 | 2,09 | ||
| 1,36 | 1,44 | 1,63 | 1,59 | 1,44 | 1,54 | 1,81 | 1,82 | 1,76 | 1,90 | 1,96 | 1,96 | 2,12 | 2,16 | ||
| 1,38 | 1,47 | 1,67 | 1,64 | 1,50 | 1,57 | 1,86 | 1,88 | 1,82 | 1,94 | 2,02 | 2,03 | 2,17 | 2,23 | ||
| 1,40 | 1,49 | 1,71 | 1,69 | 1,55 | 1,59 | 1,91 | 1,94 | 1,88 | 1,99 | 2,08 | 2,10 | 2,23 | 2,30 | ||
| 1,41 | 1,52 | 1,76 | 1,73 | 1,61 | 1,62 | 1,96 | 1,99 | 1,93 | 2,03 | 2,13 | 2,16 | 2,28 | 2,38 | ||
| 1,43 | 1,54 | 1,80 | 1,78 | 1,66 | 1,64 | 2,01 | 2,05 | 2,01 | 2,08 | 2,19 | 2,23 | 3,34 | 2,45 | ||
| 1,43 | 1,57 | 1,84 | 1,83 | 1,72 | 1,67 | 2,06 | 2,11 | 2,07 | 2,12 | 2,25 | 2,30 | 2,39 | 2,52 | ||
| 1,49 | 1,62 | 1,92 | 1,93 | 1,83 | 1,72 | 2,16 | 2,23 | 2,19 | 2,21 | 2,37 | 2,44 | 2,50 | 2,66 | ||
| Значения Kτ | |||||||||||||||
| 1,26 | 1,33 | 1,39 | 1,42 | 1,37 | 1,37 | 1,53 | 1,52 | 1,50 | 1,54 | 1,53 | 1,61 | 2,12 | 2,09 | ||
| 1,28 | 1,35 | 1,40 | 1,43 | 1,38 | 1,39 | 1,53 | 1,54 | 1,53 | 1,57 | 1,62 | 1,65 | 2,18 | 2,08 | ||
| 1,29 | 1,36 | 1,42 | 1,44 | 1,39 | 1,40 | 1,58 | 1,57 | 1,57 | 1,59 | 1,66 | 1,68 | 2,24 | 2,12 | ||
| 1,29 | 1,37 | 1,44 | 1,46 | 1,42 | 1,42 | 1,59 | 1,59 | 1,59 | 1,61 | 1,69 | 1,72 | 2,3 | 2,17 | ||
| 1,30 | 1,37 | 1,45 | 1,41 | 1,43 | 1,43 | 1,61 | 1,61 | 1,62 | 1,64 | 1,72 | 1,74 | 2,37 | 2,22 | ||
| 1,30 | 1,38 | 1,45 | 1,50 | 1,45 | 1,44 | 1,62 | 1,64 | 1,65 | 1,66 | 1,75 | 1,77 | 2,42 | 2,26 | ||
| 1,31 | 1,39 | 1,48 | 1,51 | 1,46 | 1,46 | 1,65 | 1,66 | 1,68 | 1,68 | 1,79 | 1,81 | 2,48 | 2,31 | ||
| 1,32 | 1,42 | 1,52 | 1,54 | 1,50 | 1,47 | 1,68 | 1,71 | 1,74 | 1,73 | 1,86 | 1,88 | 2,6 | 2,40 | ||
Таблица 7
Коэффициенты концентрации для валов в месте напрессовки деталей
| Диаметр, мм | Посадка | , МПа | |||||||
| Значения (изгиб) | |||||||||
| С натягом | 2,25 | 2,5 | 2,75 | 3,00 | 3,25 | 3,50 | 3,75 | 4,25 | |
| Переходная | 1,69 | 1,83 | 2,06 | 2,25 | 2,44 | 2,63 | 2,82 | 3,19 | |
| С зазором | 1,46 | 1,63 | 1,75 | 1,95 | 2,11 | 2.28 | 2,44 | 2,76 | |
| С натягом | 2,75 | 3,05 | 3,36 | 3,66 | 3,96 | 4,28 | 4,60 | 3,20 | |
| Переходная | 2,06 | 2,28 | 2,52 | 2,75 | 2,97 | 3,20 | 3,45 | 3,90 | |
| С зазором | 1,80 | 1,52 | 2,18 | 2,38 | 2,57 | 2,78 | 3,00 | 3,40 | |
| 100 и более | С натягом | 2,95 | 3,28 | 3,60 | 3,94 | 4,25 | 4,60 | 4,90 | 5,60 |
| Переходная | 2,22 | 2,46 | 2,70 | 2,96 | 3,20 | 3,46 | 3,98 | 4,20 | |
| С зазором | 1,92 | 2,73 | 2,34 | 2,56 | 2,76 | 3,00 | 3,18 | 3,64 | |
| Значения (кручение) | |||||||||
| С натягом | 1,75 | 1,90 | 2,05 | 2,20 | 2,35 | 2,50 | 2,63 | 2,95 | |
| Переходная | 1,41 | 1,53 | 1,64 | 1,75 | 1,86 | 1,98 | 2,09 | 2,31 | |
| С зазором | 1,28 | 1,38 | 1,47 | 1,57 | 1,67 | 1,77 | 1,86 | 2,06 | |
| С натягом | 2,05 | 2,23 | 2,52 | 2,60 | 2,78 | 3,07 | 3,26 | 3,62 | |
| Переходная | 1,64 | 1,87 | 2,01 | 2,15 | 2,28 | 2,12 | 2,57 | 2,74 | |
| С зазором | 1,48 | 1,00 | 1,71 | 1,83 | 1,95 | 2,07 | 2,20 | 2,42 | |
| 100 и более | С натягом | 2,17 | 2,37 | 2,56 | 2,76 | 2,95 | 3,16 | 3,34 | 3,76 |
| Переходная | 1,63 | 1,88 | 2,04 | 2,18 | 2,32 | 2,48 | 2,80 | 2,92 | |
| С зазором | 1,55 | 1,68 | 1,83 | 1,94 | 2,06 | 2,20 | 2,31 | 2,58 |
Примечание 1. Для посадки колец подшипников качения следует принимать и по строке посадки с натягом.
2. Значения и для промежуточных величин диаметров определяются интерполяцией.
Таблица 8
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов со шлицами
| , МПа | |||||||||
| 1,35 | 1,45 | 1,55 | 1,60 | 1,65 | 1,70 | 1,72 | 1,75 | ||
| Шлицы прямобочные | 2,10 | 2,25 | 2,36 | 2,45 | 2,55 | 2,65 | 2,70 | 2,80 | |
| Шлицы эвольвентные | 1,40 | 1,43 | 1,46 | 1,49 | 1,52 | 1,55 | 1,58 | 1,60 |
Таблица 9
Эффективные коэффициенты концентрации для валов со шпоночным пазом
| а | б | ||||||||
| , МПа | |||||||||
| а | 1,51 | 1,64 | 1,76 | 1,89 | 2,01 | 2,14 | 2,26 | 2,50 | |
| б | 1,30 | 1,38 | 1,46 | 1,54 | 1,62 | 1,69 | 1,77 | 1,92 | |
| 1,20 | 1,37 | 1,54 | 1,71 | 1,88 | 2,05 | 2,22 | 2,39 | ||
| Обозначения | а – для пазов, выполненных пальчиковой фрезой; б – для пазов, выполненных дисковой фрезой. |
Таблица 10
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе
для валов с метрической резьбой
| , МПа | |||||||||
| 1,45 | 1,78 | 1,96 | 2,20 | 2,32 | 2,47 | 2,61 | 2,90 | ||
| Приме- чание | Значение принимается равным единице |
Значения коэффициентов и приведены в табл. 11.
Таблица 11
Значения коэффициентов и
| Коэффициенты | , МПа | ||||
| 350 - 550 | 520 - 750 | 700 -1000 | 1000 -1200 | 1200 –1400 | |
| ψσ (растяжение) | 0,00 | 0,05 | 0,10 | 0,20 | 0,25 |
| ψτ (кручение) | 0,00 | 0,00 | 0,05 | 0,10 | 0,15 |
Значения масштабного фактора и коэффициента , учитывающего шероховатость поверхности, приведены соответственно в табл. 12 и 13.
Таблица 12
Значения коэффициента влияния абсолютных размеров (масштабный фактор)
| Наименьший из примыкающих к зоне концентрации диаметров | Углеродистые стали | Легированные стали | |
| εσ | ετ | εσ | |
| Св. 20 до 30 | 0,91 | 0,89 | 0,83 |
| Св. 30 до 40 | 0,88 | 0,81 | 0,77 |
| Св. 40 до 50 | 0,84 | 0,78 | 0,73 |
| Св. 50 до 60 | 0,81 | 0,76 | 0,70 |
| Св. 60 до 80 | 0,76 | 0,74 | 0,67 |
| Св. 80 до 100 | 0,73 | 0,72 | 0,64 |
| Св. 100 до 120 | 0,70 | 0,70 | 0,62 |
| Св. 120 до 150 | 0,68 | 0,68 | 0,60 |
| Примечание: для легированных сталей значение принимают, как для углеродистых. |
Таблица 13