Расчет зубьев цилиндрической прямозубой передачи на изгиб

3.33. Ниже излагается упрощенный метод расчета зуба на изгиб, осно­ванный на положениях сопротивления материалов.

На рис. 3.34 показаны схема зацепления двух зубьев в полюсе и силы, действующие на зубья колес со стороны шестерни; трение не учитывается. Нормальная сила F_n раскладывается на две составляющие: окружную силу F_t и радиальную или распорную — F_r.

Рис. 3.34. Усилия-в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи

При выводе формул принимают следующие упрощения и допущения: зуб рассматривают как консольную балку прямоугольного сечения, работаю­щую на изгиб и сжатие; вся нагрузка, действующая в зацеплении, переда­ется одной парой зубьев и приложена к их вершинам; нагрузка равномерно распределена по длине зуба Ь_ω.

На рис. 3.35 показан профиль балки равного сопротивления (s — тол­щина зуба в опасном сечении; l — плечо изгибающей силы; b_w — длина зуба; F_n — нормальная сила, действующая на зуб).

Рис. 3.35. Схема расчета зубьев на изгиб

Определим силы в опасном сечении корня зуба. Разложим силу F_n в точке А на две составляющие: F,' и F'_r, условно принимаем, что сила F_n приложена только к одному зубу (перекрытием пренебрегаем), а сила F, равна окружной силе на начальной окружности.

Сила F_t^/ изгибает зуб, а сила F'_r сжимает его. Из рис. 3.35 находим

F_t' = F_ncosa'; F'_r = F_n sin α'

где α' — угол направления нормальной силы F_n, приложенной у вершины, который несколько больше угла зацепления a_ω; F_n – F_t /cos a_w — нормаль­ная сила.

В каком сечении зуба рис. 3.35 возникает наибольшая концентрация на­пряжений?

3.34.Исходя из изложенного выше, за расчетное напряжение принима­ют напряжения на растянутой стороне зуба:

(3.1)

Для опасного сечения ВС условие прочности

(3.2)

где a_F — напряжение изгиба в опасном сечении корня зуба; W — осевой момент сопротивления; А = b_ωs — площадь сечения ножки зуба.

Выразим I и s в долях модуля зубьев: l= km; s = cm, где к и с — коэффи­циенты, зависящие от формы зуба, т. е. от угла а_ω и числа зубьев Z.

Тогда изгибающий момент в опасном сечении

осевой момент сопротивления прямоугольного сечения зуба

(3.3)

Подставим в формулу (3.2) входящие в него параметры М_И и W, введем коэффициенты расчетной нагрузки K_Fβ (табл. 3.4), K_Fv (табл. 3.5) и теоре­тический коэффициент концентрации напряжений К_Т.

В результате получим окончательную формулу проверочного расчета прямозубой передачи на усталость при изгибе

(3.4)

где Y_F — коэффициент учитывающий форму зуба и концентрацию напря­жений (табл. 3.6).

Таблица 3.4. Значение коэффициентов K_Fβ и K_Hβ

! Расположение шестерни отно­сительно опор	Твердость НВ поверхностей зубьев колеса	KFβ при Ψbd=bw/d1	КHβ при Ψbd =bω/d1
0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6	0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6
Консольное (опоры — шари­коподшипники)	До 350 Св. 350	1,16 1,33	1,37 1,70	1,64				1,08 1,22	1,17 1,44	1,28
Консольное (опоры — роли­коподшипники)	До 350 Св. 350	1,10 1,20	1,22 1,44	1,38 1,71	1,57			1,06 1,11	1,12 1,25	1,19 1,45	1,27	-
Симметричное	До 350 Св. 350	1,01 1,02	1,03 1,04	1,05 1,08	1,07 1,14	1,14 1,30	1,26	1,01 1,01	1,02 1,02	1,03 1,04	1,04 1,07	1,07 1,16	1,10 1,26
Несимметричное	До 350 Св. 350	1,05 1,09	1,10 1,18	1,17 1,30	1,25 1,43	1,42 1,73	1,61	1,03 1,06	1,05 1,12	1,07 1,20	1,12 1,29	1,19 1,48	1,28 -

Таблица 3.5. Значение коэффициентов K_Fv и K_HV

Степень точности передачи	Твердость НВ поверхности зубьев колеса	KFv (A/fo) при окружной скорости, м/с
	До 350   Св. 350	1,08/1,03 (1,04/1,02) 1,03/1,01 (1,03/1,00)	1,16/1,06 (1,07/1,03) 1,05/1,02 (1,05/1,01)	1,33/1,11 (1,14/1,05) 1,09/1,03 (1,09/1,02)	1,50/1,16 (1,21/1,06) 1,13/1,05 (1,14/1,03)	1,62/1,22 (1,29/1,07) 1,17/1,07 (1,19/1,03)	1,80/1,27 (1,36/1,08) 1,22/1,08 (1,24/1,04)
	До 350   Св. 350	1,10/1,03 (1,04/1,01) 1,04/1,01 (1,03/1,01)	1,20/1,06 (1,08/1,02) 1,06/1,02 (1,06/1,01)	1,38/1,11 (1,61/1,04) 1,12/1,03 (1,10/1,02)	1,58/1,17 (1,24/1,06) 1,16/1,05 (1,16/1,03)	1,78/1,23 (1,32/1,07) 1,21/1,05 (1,22/1,04)	1,96/1,29 (1,40/1,08) 1,26/1,08 (1,26/1,05)
	До 350   Св. 350	1,13/1,04 (1,05/1,01) 1,04/1,01 (1,04/1,01)	1,28/1,07 (1,10/1,03) 1,07/1,02 (1,07/1,01)	1,50/1,14 (1,20/1,05) 1,14/1,04 (1,13/1,02)	1,72/1,21 (1,30/1,07) 1,21/1,06 (1,20/1,03)	1,98/1,28 (1,40/1,09) 1,27/1,08 (1,26/1,04)	2,25/1,35 (1,50/1,12) 1,34/1,09 (1,32/1,05)

Примечание. В числителе — значения для прямозубых колес, в знаменателе — для косозубых.

Таблица 3.6. Коэффициент Y_F -для эвольвентного наружного зацепления приa_w = 20° (прих = О)¹

Число зубьев	Yf	Число зубьев	YF	Число зубьев	YF
	4,26		3,81		3,62
	4,07		3,79		3,60
	3,98		3,75		3,60
	3,92		3,70		3,60
	3,88		3,66		3,60
			3,65	Рейка	3,63

¹Выбор коэффициента Y_F можно производить по графику.

Как определяются в формуле (3.4) коэффициенты К_Fβ, K_FV, Y_F?

3.35.Выведем формулу проверочного расчета прямозубых передач на уста­лость при изгибе через вращающий момент Т₂..

С учетом того, что F_t= 2T₁/d₁ = 2T₁/ mz₁ = 2T₂/mz₁u; b_ω = Ψ_bdmz₁ формула проверочного расчета (3.4) примет вид

(3.5)

где σ_F, [σ]_F, МПа; m, мм; T₂ — вращающий момент на колесе, Н · мм; Z₁ — число зубьев шестерни; Ψ_bd — коэффициент длины зуба (ширины венца) по делительному диа­метру (табл. 3.7).

Таблица 3.7. Рекомендуемые значения коэффициента Ψ_bd = b_w/d₁ в зависимости от твердости рабочих поверхностей зубьев

Расположение колес относи­тельно опор	НВ2 ≤ 350 или НВ1 и НВ2 ≤ 350	НВ1 и НВ2 > 350
Симметричное	0,8-1,4	0,4-0,9
Несимметричное	0,6-1,2	0,3-0,6
Консольное	0,3-0,4	0,2-0,25

3.36. В каком случае проводят проверочный расчет зубчатой передачи на изгиб?

3.37. Проанализируйте формулы (3.5) и определите, в каких зубьях (шес­терни или колеса) возникают большие изгибающие напряжения и почему?

3.38.Из формул (3.5) и (3.6) получаем формулы проектировочного рас­чета на изгиб

(3.6)

(3.7)

(3.8)

где K_m = 1,4 для прямозубых колес.

В формулу (3.8) подставляют меньшее из двух отношений [σ]_F/Y_F, вы­численных для шестерни и колеса.

В каких единицах необходимо подставить T₂ и [σ]_F в формулу(3.8), что­бы модуль т получить в миллиметрах.

3.39. Выбор допускаемых напряжений изгиба. Выше отмечалось, что при­чиной поломки зубьев, как правило, является усталость материала под дейст­вием повторных переменных изгибающих напряжений. Поэтому значения допускаемых напряжений должны быть определены исходя из предела вы­носливости зубьев. Допускаемое напряжение изгиба определяют по формуле

[σ]_F=(σ⁰_Flimb/S_F)Y_RK_FCK_FL, (3.9)

где σ⁰_Flimb — базовый предел выносливости зубьев при отнулевом цикле изменения напряжений (табл. 3.8); S_F — коэффициент безопасности (S_F = 1,7 ÷ 2,2; S_F> 2,2 — для литых заготовок); Y_R — коэффициент, учиты­вающий шероховатость поверхности зуба (Y_R= 1,05 -г 1,2 — при полирова­нии, в остальных случаях Y_R= 1); K_FC — коэффициент, учитывающий влия­ние двустороннего приложения нагрузки (K_FC= 1,0 — при одностороннем приложении нагрузки, изгибающей зуб; K_FC= 0,65 — для нормализованных сталей, K_FC=0,75 — для закаленных сталей с твердостью свыше HRC45; K_FC = 0,9 — для азотированных сталей); K_FL — коэффициент долговечности [определяется по формуле (ЗЛО, 3.11)].

Таблица 3.8. Приближенные значения пределов выносливости при изгибе зубьевσ⁰_Flimb

σ0Flimb. МПа	Твердость зубьев HR С	Сталь	Способ термиче­ской или хими­ко-термической обработки
Поверх­ность	Сердцеви­на
1,8HBСР	НВ 180-300	Углероди­стая или лег тированная	Отжиг, нормализа­ция или улучшение
550-600	HRC 45-55	Легирован­ная	Объемная закалка
750-850	48-58	30-45	Поверхностная за­калка
750-850	56-62	32-45	Цементация и нит-роцементация
300 + \,2HRC (сердцевины зуба)	50-60	24—40	Азотирование

Можно ли принимать при расчете модуля т прямозубой передачи значе­ния прочностных характеристик материала зубчатых колес из табл. 3.8 для подстановки в формулу (3.8)?

3.40.В зависимости от твердости активных поверхностей зубьев коэф­фициент долговечности Y_N определяется по следующим формулам:

K_FL = при НВ≤ 350, (3.10)

K_FL = при НВ ≥ 350, (3.11)

где N_F0 = 4 · 10⁶ — число циклов соответствующее точке перелома кривой усталости; N_F — расчетная циклическая долговечность;

N_F= 60nct_π = 573ωct_∑, (3.12)

где n(ω) — частота вращения (угловая скорость) шестерни или колеса, об/мин (рад/с); с — число колес, находящихся в зацеплении с рассчиты­ваемым колесом; t_∑ — продолжительность работы зубчатой передачи за рас­четный срок службы, ч;

(3.13)

где L_Г — срок службы передачи, год; С — число смен; t_c — продолжитель­ность смены, ч; k_Г — коэффициент годового использования привода; k_с — коэффициент использования привода в смене.

Формула (3.12) приемлема для определения расчетной циклической долговечности только при постоянном режиме нагрузки.

При выборе материала для зубчатой пары с целью сокращения номенк­латуры, как правило, назначают одинаковые материалы. Разность значений твердостей для шестерни и колеса достигается их термической обработкой. Получение нужных механических характеристик зависит не только от тем­пературного режима обработки, но и от размеров заготовки.

3.41.При переменном режиме нагрузки расчетная циклическая долговеч­ность определяется по формуле:

N_F=60·n·c·t_∑K_FE, (3.14)

где K_FE — коэффициент приведения переменного режима нагрузки к по­стоянному эквивалентному режиму:

(3.15)

где T_max, Т_i — максимальные и промежуточные значения моментов; коэф­фициент m_F = 6 — при нормализации и улучшении; m_F=9 — при закалке; t_i — продолжительность (в часах) действия момента Т_i,; t_∑ — суммарная про­должительность работы зубчатой передачи.

3.42.Ответить на вопросы контрольной карточки 3.6.

Контрольная карточка 3.6