ГЛАВА 3. Постоянный электрический ток

п.3.1 Электрический ток. Сопротивление проводника. Закон Ома

2.82 Ток в проводнике меняется со временем t по закону I = 2 + 2t (I – в амперах, t – в секундах). При каком постоянном токе I₀ за время от t₁ = 2c до t₂ = 6 с через поперечное сечение проводника пройдёт такое же количество электричества?

Ответ: I₀ = 10 А

2.83 Ток в проводнике меняется по закону I = 6 – 2t (I в амперах, t – в секундах). Какое количество электричества Q пройдёт через поперечное сечение за время от t₁ = 0 до t₂ = 3 c?

Ответ: Q = 9 Кл

2.84 Сила тока в проводнике изменяется по закону I = (4 + t)A (t измеряется в секундах). Какое количество тепла выделится в проводнике с сопротивлением R = 1 Ом за первые 3 секунды?

Ответ: Q = 93 Дж.

2.85 Медная и алюминиевая проволоки имеют одинаковую длину l и сопротивление R. Во сколько раз медная проволока массивнее алюминиевой?

Ответ: в 2,2 раза.

2.86 Элемент с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом подключен к проводнику длиной l = 1 м. Чему равна напряженность электрического поля внутри проводника, если сила тока в цепи I = 10 A?

Ответ: E = 1 В/м.

2.87 Элемент с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключен к медному проводнику длиной l = 100 м. Сила тока в проводнике I = 1 A. Чему равна плотность тока в проводнике?

Ответ: j = 0,588∙10⁶ А/м².

2.88 Элемент с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключен к алюминиевому проводнику длиной l = 100 м. Чему равна удельная тепловая мощность, выделяемая в проводнике, если сила тока в цепи I = 1 A?

Ответ: w* = 40 Вт/м³.

2.89 Элемент с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом включён в цепь с внешним сопротивлением R, при этом сила тока в ней равна I = 0,5 A. Каково внешнее сопротивление R при этих условиях? Найти падение напряжения внутри этого источника.

Ответ: R = 3,5 Ом.

2.90 Какую долю ЭДС ε элемента составляет разность потенциалов U на его зажимах, если сопротивление элемента r в 10 раз меньше внешнего сопротивления R?

Ответ: .

2.91 Элемент с ЭДС ε = 20 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключен к алюминиевому проводу. Плотность тока в проводнике j = 10⁶ А/м². Чему равна длина проводника, если сила тока ?

Ответ: .

2.92 Элемент с внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключен к медному проводнику длиной l = 100 м. Удельная тепловая мощность, выделяемая в проводнике w^* = 80 Вт/м³, сила тока I = 1 А. Определить ЭДС.

Ответ: .

2.93 В медном проводнике объёмом V = 12 см³ при прохождении по нему тока выделилось Q = 600 Дж количества теплоты за 5 минут. Вычислить напряжённость электрического поля в проводнике.

Ответ: .

2.94 Сила тока короткого замыкания I_к.з элемента с ЭДС ε = 100 В равна 10 А. Каков КПД элемента, если R = 40 Ом?

Ответ: .

2.95 Элемент с ЭДС ε = 3,2 В имеет внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Найти КПД элемента при токе.

Ответ: .

2.96 Элемент, сопротивление и амперметр соединены последовательно. Элемент имеет ЭДС ε = 2 В и внутреннее сопротивление r = 0,4 Ом. Амперметр показывает ток. Каков КПД элемента?

Ответ: .

2.97 Двухпроводная линия питается от источника мощностью Р = 2,5 кВт при токе потребления I = 12 А. Определить КПД линии, если её длина составляет , а диаметр проводов d = 4,5 мм?

Ответ: .

2.98 К источнику с ЭДС ε = 125 В и r = 0 подключены последовательно три резистора R₁ = 100 Ом, R₂ = 30 Ом, R₃ = 120 Ом. Определить мощность на каждом резисторе.

Ответ: P₁ = 25 Вт; P₂ = 7,5 Вт; Р₃ = 30 Вт.

2.99 ЭДС батареи ε = 24 В . Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, I_max = 5 А. Какая наибольшая мощность Р_max может выделиться на подключенном к батарее резисторе с переменным сопротивлением ? Чему равен при этом КПД?

Ответ: Р_max = 30 Вт; .

П.3.2 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

2.100 Найти показания амперметра, если

ε₁ = 2 B; r₁ = 1 Ом

ε₂ = 3 B; r₂ = 1 Ом

R = 10 Ом

Ответ: I = 0,33 А.

2.101 Найти показания амперметра, если

ε₁ = 2 B; r₁ = 1 Ом;

ε₂ = 3 B; r₂ = 1 Ом;

R = 10 Ом.

Ответ: .

2.102 Найти показания вольтметра, еcли

ε₁ = 2 B; r₁ = 1 Ом;

ε₂ = 3 B; r₂ = 1 Ом;

R = 10 Ом;

R_V = ∞.

Ответ: U_v =2,2 В.

2.103 Три гальванических элемента e₁ = 1,3 В, e₂ = 1,4 В, e₃ = 1,5 В с внутренним сопротивлением по r = 0,3 Ом каждый включены параллельно друг с другом на резистор сопротивлением R = 0,6 Ом. Определить силу тока в каждом элементе.

Ответ: I₁ = 0,333 А; I₂ = 0,667 А; I₃ = 1 A.

2.104 Определить токи во всех ветвях цепи,

если e₁ = 36 В; r₁ = 3,5 Ом;

R

e₂ = 27 В; r₂ = 1 Ом;

R₁ = 8,5 Ом; R = 6 Ом.

Ответ: I₁ = 1 A; I₂ = 3 А; I = 4 А.

2.105 Определить ЭДС источников тока e₁ и e₂ если падение напряжения на R = 1,2 Ом; U = 0,6 В; R₁ = 0,9 Ом; внутреннее сопротивление источников r₁ = 0,1 Ом; r₂ = 0,3 Ом; I₂ = 0,7 А.

Ответ: e₁ = 0,34 В; e₂ = 0,81 В.

2.106 В цепи

e₁ = 130 В; e₂ = 85 В;

R₁ = R₃ = 20 Ом;

R₂ = 40 Ом;

r₁ = r₂ = 0.

Определить токи в ветвях.

Ответ: I₁ = 4,7 А; I₂ = 2,9 А; I₃ = 1,8 A.

2.107 Известно,

e₁ = 10 В; r₁ = 1 Ом; r₂ = 2 Ом;

R₁ = R = 15 Ом;

R

I₁ = 0,34 A.

Определить ЭДС e₂.

Ответ: 4, 42 В.

2.108 Три источника с ЭДС: e₁ = 11 В; e₂ = 4 В; e₃ = 6 В и три реостата с сопротивлениями R₁ = 5 Oм; R₂ = 10 Ом, R₃ = 2 Ом соединены по схеме. Определить силы токов в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало.

Ответ: I₁ = 0,8 А; I₂ = 0,3 А; I₃ = 0,5 А.

R1

2.109 Три сопротивления R₁ = 5 Ом, R₂ = 1 Ом, R₃ = 3 Ом, а также источник тока с ЭДС e = 1,4 В соединены по схеме. Определить ЭДС источника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В, чтобы в сопротивлении шёл ток силой I = 1 А в направлении, указанном стрелкой. Сопротивлением источников тока пренебречь.

Ответ: I₂ = 3,6 В.

2.110 В схеме: R₁ = 10 Ом, R₂ = 15 Ом, R₃ = 5 Ом, e₁ = 20 В, e₂ = 40 В. При каком значении ЭДС e₃ток через гальванометр равен нулю I = 0. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Ответ: e₃ = 20 В.

2.111 В схеме: e₁ = 1В; e₂ = 3В; R₁ = 1Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 3 Ом. Внутреннее сопротивление источников равно нулю. Найти значения сил токов.

Ответ: I₁ = 1,28 A; I₂ = 1,37 A; I₃ = 0,09 A.

П.3.3 Классическая теория электропроводности металлов

2.112 Определить суммарный импульс электронов в прямом проводнике длиной l = 100 м поперечным сечением S = 10 мм², при плотности тока j = 2·10⁶ A/м².

Ответ: p = 1,14·10^-8 кг·м/с.

2.113 Определить, сколько времени потребуется для перемещения свободного электрона от одного конца медного провода до другого. Длина провода- 15 км, его сечение - 1 мм², при напряжении на его концах 7 В.

Ответ: .

2.114 Исходя из классической теории электропроводности металлов, определить среднюю кинетическую энергию <ε_к> электрона в металле, если отношение / теплопроводности к удельной проводимости равно 6,7∙10 ^{- 6} В²/К.

Ответ: / = 6,2∙10 ^{- 21} Дж.

2.115 Металлический проводник движется с ускорением a = 100 м/с². Используя модель свободных электронов, определить напряжённость электрического поля в проводнике.

Ответ: E = 5,7·10^-10 В/м.

2.116 В железном проводнике число свободных электронов равно числу атомов. Определить число столкновений электронов в единицу времени t = 1 c, если удельное сопротивление железа ρ = 9,8∙10 ^{- 8}, плотность железа 7870 кг/м³.

Ответ: <z> = 1,17·10¹⁴ c ^{– 1}.

2.117 Удельное сопротивление металла = 5∙10^–7 Ом∙м. Определить длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация свободных электронов равна n = 10²⁸ м^–3. Среднюю скорость хаотического движения электронов принять 10⁵ м/c.

Ответ: <l> = 1, 42·10^–9 м.

ГЛАВА 4. Магнитное поле в вакууме

П.4.1 Определение вектора магнитной индукции

2.118 По тонкому проводящему кольцу радиусом 10 см течёт ток силой 80 А. Найти магнитную индукцию в точке, равноудалённой от всех точек кольца на 20 см.

Ответ: 6,28·10 ^{- 5} Тл.

2.119 По контуру в виде равностороннего треугольника идёт ток силой 40 А. Длины сторон треугольника равны 30 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения высот.

Ответ: 2,4·10 ^{- 4} Тл.

2.120 По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи силой 20 А и 30 А в одном направлении. Расстояние d между проводами 10 см. Вычислить магнитную индукцию в точке, удалённой от обоих проводов на одинаковое расстояние 10 см.

Ответ: 8,72·10 ^{- 5} Тл.

2.121 По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течёт ток силой 60 А. Длины сторон прямоугольника равны 30 см и 40 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей.

Ответ: 2·10 ^{- 4} Тл.

2.122 Бесконечно длинный прямой проводник, по которому идёт ток 5 А, согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля на расстоянии a = 10 см от вершины угла в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла.

Ответ: 24,2 мкТл.

2.123 Бесконечно длинный прямой проводник, по которому идёт ток 5 А, согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке С на расстоянии 10 см от вершины угла.

Ответ: 5 мкТл.

2.124 По круговому витку радиуса 100 мм циркулирует ток 1 А. Найти магнитную индукцию в: 1) в центре витка; 2) на оси витка на расстоянии b = 100 мм от его центра.

Ответ: 1) 6,28 мкТл; 2) 2,23 мкТл.

2.125 По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной 10 см течет ток 100 А. Найти магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей квадрата.

Ответ: 1,13 мТл.

2.126 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу течет ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре петли 41 А/м.

Ответ: 8 см.

2.127 Два круговых витка расположены в двух взаимноперпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка 2см и токи, текущие по виткам, I₁ = I₂ = 5 А. Найти индукцию магнитного поля в центре витков.

Ответ: 2,23·10 ^{- 4} Тл.

П.4.2 Сила Ампера

2.128 По двум параллельным проводам длиной 3 м каждый текут одинаковые токи по 500 А. Расстояние между проводами 10 см. Определить силу взаимодействия проводов.

Ответ: 1,5 Н.

2.129 Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две её стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой 1 кА. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном её длине.

Ответ: 0,1 Н.

2.130 По проводу в виде тонкого полукольца радиусом 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл. По проводу течёт ток силой 10 А. Найти силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а провода, подводящие ток, находятся вне поля.

Ответ: 0,1 Н.

2.131 Между полюсами электромагнита в горизонтальном поле находится проводник, расположенный горизонтально, причём его направление перпендикулярно магнитному полю. Какой ток должен идти через проводник, чтобы он висел не падая, если индукция поля равна 0,01 Тл и масса единицы длины проводника 0,01кг/м?

Ответ: 10 А.

2.132 Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии 0,3 м друг от друга. На них лежит стержень, перпендикулярный рельсам. Какой должна быть индукция магнитного поля для того, чтобы стержень начал двигаться, если по нему пропустить ток 50 А. Коэффициент трения стержня о рельсы - 0,2. Масса стрежня - 0,5 кг.

Ответ: ≈ 66 мТл.

П.4.3 Сила Лоренца. Движение частицы в перекрестных полях

2.133 Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила подействует на электрон, если по проводнику пустить ток 5 А?

Ответ: 4·10 ^{- 16} Н.

2.134 Поток α-частиц (ядер атома гелия), ускоренных разностью потенциалов 10 МВ, влетает в однородное магнитное поле напряжённостью в 15 кЭ (1 Э = 80 А/м). Скорость каждой частицы направлена под прямым углом к направлению магнитного поля. Найти силу, действующую на каждую частицу.

Ответ: 4,7·10^–12 Н.

2.135 Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона 4·10⁷ м/с. Индукция магнитного поля - 1мТл. Чему равны тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле.

Ответ: а_τ = 0; a_n = 7·10¹⁵ м/c².

2.136 Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона?

Ответ: в 42,9 раза.

2.137 Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр 80 мм и шаг 200 мм. Индукция поля - 5 мТл. Определить величину скорости электрона.

Ответ: 4,5·10⁷ м/с.

2.138 α-частица, имеющая скорость 2 Мм/с, влетает под углом 30º к сонаправленным магнитному (В = 1 мТл) и электрическому (Е = 1 кВ/м) полям. Определить ускорение α-частицы.

Ответ: 6,8·10¹⁰ м/с².

2.139 Однородное магнитное (В = 2,5 мТл) и электрическое (Е = 10 кВ/м) поля скрещены под прямым углом. Электрон, скорость которого равна 4 Мм/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него со стороны магнитного и электрического полей, сонаправлены. Определить ускорение электрона.

Ответ: 3,5·10¹⁵ м/с².

2.140 Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус которой 1 см и шаг 6 см. Определить период обращения электрона и его скорость.

Ответ: Т = 3,57 нс; V = 24,6 Мм/с.

2.141 Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1Тл) поля. Найти отношение заряда α-частицы к её массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Ответ: 48,1 МКл/кг.

2.142 Магнитное поле напряжённостью Н = 8 кА/м и электрическое поле напряжённостью Е = 1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в магнитное поле со скоростью 10⁵ м/c. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение электрона. Задачу решить, если скорость электрона направлена параллельно направлению электрического поля.

Ответ: м/с².

2.143 Магнитное поле напряжённостью Н = 8 кА/м и электрическое поле напряжённостью Е = 1 кВ/м направлены одинаково. Электроны влетают в магнитное поле со скоростью 10⁵ м/c. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорения электрона. Задачу решить, если скорость электрона направлена перпендикулярно к направлению электрического поля.

Ответ: м/с².

2.144 Перпендикулярно однородному магнитному полю (В = 1 мТл) возбуждено однородное электрическое (Е = 1 кВ/м). Перпен-дикулярно обоим полям влетает α-частица со скоростью 1 Мм/с. Определить нормальное и тангенциальное ускорения частицы в момент вхождения её в поле. Заряд α-частицы – 3,2·10^–19 Кл, масса – 6,64·10^–27 кг. (Решить два случая – для взаимно противоположных направлений вектора скорости V).

Ответ: 1) a = 0 ; 2) 9,6∙10¹⁰ м/с².

П.4.4 Магнитный поток. Явления индукции и самоиндукции

2.145 Определить поперечную разность потенциалов, возникающую при протекании тока силой I вдоль проводящей пластины толщиной d, помещённой перпендикулярно магнитному полю с индукцией В. Концентрация носителей тока n.

Ответ: .

2.146 Через сечение S = db медной пластинки толщиной d = 0,5 мм и высотой b = 10 мм пропускается ток 20 А. При помещении пластины в магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока, возникает поперечная разность потенциалов U = 3,1 мкВ. Индукция магнитного поля В = 1 Тл. Найти концентрацию n электронов проводимости в меди и их скорость при этих условиях.

Ответ: .

2.147 Контуры L1, L2, L3, L4 представляют окружности радиуса R. Направление и расположение контуров относительно прямого тока I показано на рисунке. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции В вдоль контуров.

Ответ: 1) 0; 2) μ₀I; 3) μ₀I ; 4) μ₀I.

2.148 По прямому бесконечно длинному проводнику течёт ток 10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, определить магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии 20 см от проводника.

Ответ: 10 мкТл.

2.149 Определить циркуляцию вектора магнитной индукции для замкнутых контуров, изображённых на рисунке, если сила тока в обоих проводниках I = 2А.

Ответ: 2,51 мкТл∙м; 5,02 мкТл∙м; 0.

2.150 Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 30 мТл, движется по окружности радиусом 10 см. Определить магнитный момент p_m эквивалентного кругового тока.

Ответ: 4,21 пА∙м².

2.151 Протон движется по окружности радиусом 0,5 см с линейной скоростью 10⁶ м/c. Определить магнитный момент p_m, создаваемый эквивалентным круговым током.

Ответ: 4∙10^–16 А∙м².

2.152 Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 1,5 см, содержащая 200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Плотность рамки параллельна линиям индукции. Найти механический момент М, действующий на рамку, когда по витку течёт ток силой 1мА, и магнитный момент p_m рамки при этом токе.

Ответ: 1,2∙10^–5 Н∙м; 1,2∙10^–4 А∙м².

2.153 Круглая рамка с током (S = 15 см²) закреплена параллельно магнитному полю (В = 0,1 Тл) и на неё действует вращающий момент М = 0,45 мН·м. Определить силу тока, текущего по рамке.

Ответ: I = 3A.

2.154 Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника 0,16 мТл. Внешний диаметр тороида d₁ = 60 см, внутренний d₂ = 40 см. Тороид содержит 200 витков. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора B, определить силу тока в обмотке тороида.

Ответ: 1А.

2.155 Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет ток силой I = 20 А. Определить магнитный поток F и потокосцепление Y, если индуктивность L = 0,4 Гн.

Ответ: 2 мВб, 8 Вб.

2.156 На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см_­² намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить индуктивность L получившегося соленоида.

Ответ: 6,28 мГн.

2.157 Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,318 Тл. Плоскость кольца составляет угол j = 30° с линиями индукции. Вычислить магнитный поток F, пронизывающий кольцо.

Ответ: 5 мВб.

2.158 По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см, течет ток силой I = 20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна магнитным силовым линиям поля. Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция B = 0,1 Тл. Поле считать однородным.

Ответ: 0,02 Дж.

2.159 Рамка площадью S = 50 см², содержащая N = 100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Определить

максимальную ЭДС индукции e_max, если ось вращения лежит в

плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n = 96 мин ^{- 1}.

Ответ: 2,01 В.

2.160 Кольцо из проволоки сопротивлением R = 10^-3 Ом находится в однородном магнитном поле (B = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет угол j = 90° с линиями индукции. Определить заряд Q, который протечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см².

Ответ: 0,4 Кл.

2.161 По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток силой I = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида.

Ответ: 10 Дж.