Построение динамических характеристик разомкнутой системы
2.1. Построение амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы автоматического управления.
2.2. Определение устойчивости замкнутой системы и запаса устойчивости по амплитуде и фазе по передаточной функции разомкнутой системы автоматического управления.
Цель: по передаточной функции WRAZ(p) разомкнутой системы автоматического управления построить амплитудно-фазовую частотную характеристику и определить, используя критерий Найквиста, устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости по амплитуде и фазе.
Критерий Найквиста позволяет оценивать устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.
Формулировка критерия Найквиста:
если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы для частот 0≤ω≤∞ не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами(-1, j 0).
Рис. 1. АФЧХ систем с различной устойчивостью.
Запас устойчивости системы по амплитуде и фазе можно определить по удаленности амплитудно-фазовая частотной характеристики от критической точки с координатами(-1, j 0).
Передаточная функция разомкнутой системы:
Для построения амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы автоматического управления примем р = ωj, тогда:
Отделяем в выражении числителя и знаменателя действительную и мнимую части:
Re(ω) = 1-0,06
Im(ω) = 0,09ω
Таким образом: Y=1- 0,06 +0,09ω (1)
Используя (1) для числителя и знаменателя разомкнутой функции получаем:
Для того, чтобы разделить передаточную функцию на действительную и мнимую составляющие, воспользуемся правилом:
В общем виде частотная передаточная функция САУ:
Числитель и знаменатель состоят из действительных и мнимых членов. Приmиn – нечетных составляющие полиномов являются мнимыми значениями, поскольку (j)m = (j)n = (±)j. При четных mи n получим действительные значения. В этом случае можно написать:
Для выделения в этом комплексном числе действительной и мнимой части необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:
(2)
Это выражение можно представить в виде двух слагаемых
В последнем выражении для передаточной функции можно выделить действительную Rе(ω) и мнимую – Im(ω) части.
В соответствии с (2) умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя – для нашего случая:
(1- 0,06 -j0,09 ω)
Рис. 1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
Рис. 2. Определение запаса устойчивости системы по амплитуде и фазе. |
По построенной Амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы можно сделать вывод, что система устойчива не только в разомкнутом, но и в замкнутом состоянии, т.к. амплитудно-фазовая частотная характеристика для частот 0≤ω≤∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами(-1, j 0).
Запас устойчивости системы по амплитуде и фазе можно определить по удаленности амплитудно-фазовая частотной характеристики от критической точки с координатами(-1, j 0) (рис. 2).
Запас устойчивости по фазе равен значению угла λ для частоты среза ω, при которой |W(ω)|=1. Запас устойчивости по амплитуде равен значению величины отрезка h оси абсцисс между точкой (-1, j0) и амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Величину запаса устойчивости по амплитуде можно вычислить по формуле:
.
Запас по амплитуде должен быть не менее 6 дБ (Зh ≥6 дБ).
Запас устойчивости по фазе – это дополнительный сдвиг фазы («поворот» Амплитудно-фазовой частотной характеристики против часовой стрелки), который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза ωс, где |W(ω)|=1. Запас по фазе должен быть не менее 30°.
Для рассматриваемого примера запас устойчивости системы по амплитуде h = 1 – это много более 6 дБ; запас устойчивости по фазе λ = 266° – много более 30°.