Определение запаса устойчивости системы

Наибольшее распространение для определения запаса устойчивости получил способ, основанный на использовании критерия Найквиста. Определяются две величины – запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде определяется как величина ΔК, на которую может возрасти модуль АЧХ разомкнутой системы, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе равен величине угла Δφ, на которую должно измениться запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Величины ΔК и Δφ показаны на рисунке 4.2. Для получения значения Δφ необходимо из центра координат провести дугу радиусом R = 1из точки (-1; j0) до пересечения с линией годографа, как показано на рис.4.2.

Рисунок 4.2 - Годограф разомкнутой системы.

Качество управления системы

Оценка качества управления САУ производится по показателям качества, к которым относятся:

- статическая ошибка;

- величина перерегулирования;

- время переходного процесса.

Для определения этих показателей необходимо знать переходную характеристику h(t) САР. Ее находят по изображению Н(р), которую приизвестной передаточной функции замкнутой системы, представленной в виде выражения (4.4), получают путем умножения изображения единичной функции 1(р) на передаточную функцию К(р). Затем переходят от изображения переходной характеристики к ее оригиналу.

Н(р) = 1(р)· К(р). (4.9)

h(t) ← Н(р), (4.10)

где знак ← означает переход от изображения функции к ее оригиналу.

При нахождении оригинала необходимо так преобразовать числитель и знаменатель Н(р), чтобы получить формулу, подобную на одно из табличных изображений функций времени приведенных в Приложении В, которые даны без учета постоянных коэффициентов.

В процессе проведения математических преобразований полученного выражения Н(р), его знаменатель, представляющий собой степенной полином, следует привести к виду

p(p²+bp+c) = p(p – p₁)(p – p₂), (4.11)

где p₁ и p₂ – корни квадратного трехчлена p²+bp+c. При этом корни могут быть действительными или комплексными вида p_1,2 = α ± j β. Такому случаю соответствуют изображения временных функций, содержащие в знаменателе сумму вида [(p+ α)²+ β ²] , где α = b/2, β ²= (b/2)² - с.

Затем строится график переходной характеристики, возможный вид которого приведен на рисунке 4.3. При этом, обычно, функции h(t) присваивают размерность регулируемого параметра y(t) путем умножения h(t) на заданное значение параметра у₀ (без ±Δ_y) .

Определение статической ошибки

Статическая ошибка может быть абсолютная и относительная. Абсолютная статическая ошибка Δ_y определяется как разность между установившимся значением регулируемого параметра y_уст и его заданным значением y₀.

Δ_y = y_уст - y₀. (4.12)

Относительная статическая ошибка δ_y равна отношению абсолютной статической ошибки к заданному значению параметра y₀.

(4.13)

Рисунок 4.3 - Переходная характеристика САР.

Величина перерегулирования

Этот показатель определяют как максимальную относительную динамическую ошибку из соотношения

δ_{Д МАКС} . (4.14)

Время переходного процесса

Данный показатель характеризует быстродействие САР, под которым понимают промежуток времени t_П от начала приложения внешнего воздействия до установления значения выходной величины y(t)в пределах y₀ ± Δ_Д, где Δ_Д – допустимая динамическая ошибка.