Понятие оптимальности по Парето

Определить оптимальные решения при использовании нескольких критериев можно, выделив так называемое множество эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Эффективной (оптимальной по Парето)называется такая альтернатива (вариант решения), для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее альтернативы.

Очевидно, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения задачи. Ведь для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям, – альтернатива, доминирующаяпервую.

Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки и принятия решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Рассмотрим подход к определению множества оптимальности по Парето при использовании двух критериев: максимизации ожидаемого дохода и минимизации ожидаемого риска.

Пусть имеются две альтернативы и , для каждой из них определены:

1) средний ожидаемый доход ( и );

2) средний ожидаемый риск ( и ).

Сравним эти характеристики, чтобы найти эффективную альтернативу[6].

Альтернатива доминирует альтернативу ( ), если и , и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Здесь вариант решения – доминирующая альтернатива; – доминируемая альтернатива.

Отсюда, множество оптимальности Парето – множество недоминируемых альтернатив (вариантов решения). Т.е. выбор вариантов решения необходимо производить из альтернатив множества Парето с помощью дополнительных условий.

Характеристики альтернатив часто изображают в виде диаграммы риск-доходность: альтернатива доминирует альтернативу , если на графике точка, соответствующая , лежит выше и левее точки, соответствующей (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Диаграмма «риск-доходность»

Выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, затем возникает проблема сокращения этого множества. Дальнейший поиск во множестве эффективных решений может быть осуществлен только на основе применения различных принципов принятия решений.

Пример 3.1.

Фирма решает вопрос о сроках перехода к массовому выпуску нового вида продукции. Эта продукция является довольно дорогой, и потому на первых порах может не найти массового покупателя, поэтому излишняя торопливость может привести к тому, что выпущенная продукция не будет продана, а «осядет» на складах.

Под ее остатки придется брать кредит в банке и платить за него проценты, что в конечном итоге может привести к убыткам. Но медлить тоже нежелательно, т.к. инициативу могут перехватить конкуренты, и тогда часть ожидаемой прибыли будет упущена.

Возможные последствия (прибыль/ убыток, тыс. у.е.) перехода к массовому выпуску новой продукции при разной реакции на нее рынка приведены ниже в таблице выплат. В скобках указаны вероятности времени возникновения спроса на продукцию.

Найти оптимальный срок перехода к массовому производству нового вида продукции.

Переход к массовому производству	Срок наступления массового спроса
немедленно (0,2)	через 1 год (0,5)	через 2 года (0,3)
немедленно			-6
через 1 год
через 2 года

Решение.

1. Используем критерий максимизации среднего ожидаемого дохода. Для этого по каждому варианту решения определим математическое ожидание выплаты (значения решающей функции).

Согласно решающему правилу максимальное значение математического ожидания , т.е. оптимальным является выбор второго варианта перехода к массовому производству: при переходе к массовому производству через один год ожидаемая средняя выплата (прибыль) наибольшая.

2. Рассмотрим критерий минимизации среднего ожидаемого риска. В качестве меры уровня риска для каждого варианта решения найдем среднее квадратическое (стандартное) отклонение (значения решающей функции).

;

;

.

Согласно решающему правилу минимальное значение стандартного отклонения , т.е. оптимальным является выбор третьего варианта перехода к массовому производству: при переходе к массовому производству через два года следует ожидать наименьший уровень риска.

Следует обратить внимание, что критерии указали на различные варианты решения. Итоговый выбор стратегии осуществляется конкретным ЛПР в зависимости от его склонности к риску (пессимист или оптимист). Т.е. итоговый выбор сроков перехода на массовое производство может быть произведен как с точки зрения минимизации возможного риска, так и с точки зрения максимизации возможной прибыли.

3. Построим диаграмму «риск-доходность», чтобы наглядно представить характеристики возможных вариантов решения.

Здесь вариант , соответствующий решению «переход к массовому производству через один год», является доминирующим вариант .

Вариант , соответствующий решению «переход к массовому производству немедленным», является доминируемым вариантом .

Вариант , соответствующий решению «переход к массовому производству через два года», является недоминируемым другими вариантами решения: хотя доходность у него наименьшая, однако и уровень риска является самым низким.

Таким образом, множество оптимальных решений (множество Парето) можно составить из недоминируемых вариантов . Как было отмечено ранее, ЛПР будет выбирать сроки перехода к массовому производству из двух вариантов: через год или через два года.

Следует отметить, что не всегда множество Парето содержит только два варианта, оптимальных по критериям максимизации ожидаемого дохода и минимизации ожидаемого риска. На практике множество Парето может содержать и большее число вариантов, которые ЛПР целесообразно рассмотреть при окончательном выборе решения.