Методы выявления тенденций во временных рядах

Во временных рядах можно наблюдать тенденции трех уровней [1]:

1) среднего уровня;

2) дисперсии;

3) автокорреляции.

Тенденция среднего уровня означает сосредоточенность уровней временного ряда вокруг их среднего значения, вычисленного по всей совокупности уровней временного ряда.

Тенденция дисперсии – это изменение отклонений эмпирических значений временного ряда от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Ряд как бы «раскачивается» относительно линии, описывающей тренд.

Тенденция автокорреляции – тенденция изменения взаимосвязи между отдельными уровнями временного ряда.

Для определения наличия тренда применяется несколько методов. Рассмотрим некоторые из них.

Метод существенности разности средних уровней. Этот метод основан на проверке разности средних двух равных частей одного и того же ряда. Временной ряд разбивают на две равные по числу членов части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой половины ряда, должны существенно значимо различаться между собой. Если расхождение незначительно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия тренда в используемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей.

Математический аппарат, используемый при проверке существенности разности средних, рассмотрим на примере.

Пример. Пусть даны объемы основных фондов предприятия за 15 лет

Y(t)=(14,1;9,3;19,4;19,7;5,4;24,2;13,8;24,5;17,7;16,6;5,6;16,2;25,3;11,9;18,5).

Определить наличие тренда методом существенности разности средних.

Решение. 1. Делим ряд на две равные части: .

2. Находим средние значения этих совокупностей:

3. Находим дисперсии выборочных совокупностей:

,

4. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в дисперсии . Используем критерий Фишера:

По таблице критических точек распределения Фишера найдем критическое значение критерия при уровне значимости и для числа степеней свободы большей дисперсии и числа степеней свободы меньшей дисперсии

.

Таким образом, Следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу об отсутствии тренда – тенденция дисперсии отсутствует.

5. Проверим нулевую гипотезу об отсутствии тенденции в среднем значении: Расчетное значение критерия определяется по формуле

,

Так как , то тенденция в среднем отсутствует.

Метод Фостера-Стьюарта. Фостер и Стьюарт предложили использовать для определения наличия тренда вспомогательные характеристики К и L. Рассмотрим методику выявления тенденций:

где

Величина изменяется в пределах от 0 до 1, то есть Если все уровни совпадают, то К=0, если же они монотонно возрастают или убывают, то К=n-1. может принимать значения –1,0,1, тогда L изменяется в пределах от –(n-1) до n-1. L=0, когда тренд отсутствует или когда ряд распадается на равные части с противоположными тенденциями.

Характеристика К служит для выявления тенденции в дисперсии, а L – для обнаружения тенденции в среднем. Для этого проверяется существенно ли величины К и L отклоняются от своих математических ожиданий . Соответствующие гипотезы проверяются при помощи t-критерия Стьюдента:

где

Значения табулированы для различных n.

Расчетные значения сравниваются с табличными с (n-2) степенями свободы. Если , то отклоняется тенденция об отсутствии тенденции в дисперсии, если , то должна быть отклонена как несостоятельная тенденция об отсутствии тренда в среднем.

Пример. Определить наличие тренда в среднем и в дисперсии методом Фостера-Стьюарта для временного ряда

Y(t)=(50,52,54,59,57,60,63,68,70).

Решение. ,

K=7, L=7,

Для n=9

Так как , то тенденция дисперсии отсутствует, а имеет место тенденция среднего значения.

Сглаживание временных рядов

Проявление случайности и неопределенности в развитии экономических показателей приводит к колебаниям уровней временных рядов, что в какой-то степени искажает истинную тенденцию. Для выявления более четкого тренда используют процедуру сглаживания ряда. Сглаживание – это подравнивание уровней с целью удаления мелких незначительных колебаний показателя.

Методы сглаживания разделяют на две основные группы:

1) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2) механическое выравнивание отдельных уровней ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Использование первой группы методов предполагает существование некоторой закономерности на протяжении всего динамического ряда. Параметры выбранной кривой остаются неизменными на протяжении всей выравниваемой части ряда. Добавление к выравниваемому ряду новых уровней требует задания новой выравнивающей кривой, что является недостатком этой группы методов.

Суть методов механического сглаживания в следующем. Берется несколько первых членов ряда, образующих так называемый интервал сглаживания. Для них подбирается кривая, аналитическим выражением которой служит полином. С помощью этого полинома определяется новое выровненное значение члена, , находящегося в середине интервала сглаживания. Далее выбранный интервал сдвигается на один уровень вправо, выполняется следующее выравнивание и т.д.

Рассмотрим некоторые из методов механического сглаживания.