Раздел iv. финансовые вычисления
РАЗДЕЛ IV. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
РАБОТА № 15.
ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ: ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И ВОЛАТИЛЬНОСТЬ
Цель работы: ознакомление с наиболее распространенной в практике финансовых вычислений моделью оценки доходности активов; приобретение навыков ее использования с помощью программы Excel.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Capital Asset Pricing Model, CAPM – модель оценки финансовых активов,основанная на анализе массивов информации фондового рынка и конкретно изменений доходности свободно обращающихся акций ( с помощью чего и производится прогнозирование будущей доходности активов для инвесторов).
Представленный в модели подход к оценке активов был разработан еще в 50-е годы Г. Марковицем, и окончательно сформирован в виде модели в 60-е годы У. Шарпом (1964), Джеком Трейнером (1961, 1962), Джоном Литнером (1965) и Я.Моссином (1966) независимо друг от друга. Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (Efficient Market Hypothesis, EMH), сформулированной Юджином Фама в 60-е годы 20-го века.
Гипотеза эффективного рынка: рынок является эффективным в отношении какой-либо информации, если она сразу и полностью отражается в цене актива.
В рамках применения гипотезы получаем ряд естественных ограничений на способ распространения информации и действия инвесторов на рынке, а именно:
§ Информация распространяется свободно и доступна всем инвесторам: отсутствуют участники рынка, которые обладают закрытой информацией и получают тем самым преимущество в принятии решений.
§ Рынок находится в состоянии совершенной конкуренции.
§ Имеет место прямая зависимость между информацией о деятельности компании и стоимостью ее активов, что исключает возможность использования любой активной стратегии инвестирования для получения сверхприбыли. Также становятся неприменимы арбитражные сделки, при которых инвестор имеет информацию о поведении цены актива до ее изменения.
§ Все инвесторы имеют долгосрочный горизонт вложения. Такое предположение гарантирует отсутствие резких ценовых колебаний актива и кризисов на рынке.
§ Активы имеют высокую ликвидность и абсолютно делимы.
Исходя из гипотезы эффективного рынка, делается предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние только рыночные (системные) риски. Следует отметить, что на эффективном рынке невозможно получить сверхприбыль. Это делает любое активное управление инвестициями (инвестиционным портфелем) не целесообразным и ставит под сомнение эффективность вложения в ПИФы. В результате, модель CAPM имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Анализируя данные постулаты эффективного рынка, можно заметить, что в современной экономике многие из них не выполняются. Модель CAPM в большей степени является теоретической моделью и может использоваться на практике в только общем случае.
Доходность акций
Доходность акций складывается из роста курсовой стоимости и дивидендов и показывает, какой доход в процентном или номинальном выражении принесли акции. Доходность в общем смысле – это сумма прибыли, деленная на сумму вложенных средств. Поскольку по акциям можно получить не только прибыль, но и убыток, доходность акций может быть отрицательной.
Определение. Дивидендная доходность акций – это отношение размера дивиденда к цене акции.
Дивидендная доходность рассчитывается по формуле:
где
– размер дивидендов за год;
– цена покупки акции.
Определение. Рыночная (текущая) доходность акции – это разница в курсовой стоимости акции в текущий момент времени.
Текущая доходность показывает норму прибыли, которую получит инвестор, если продаст акцию по текущей рыночной стоимости.
Текущая доходность рассчитывается по формуле:
где
– цена продажи акции;
– цена покупки акции.
Полная доходность акции складывается из дивидендов и роста курсовой стоимости и вычисляется по формуле:
РАСЧЕТ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Фондовый рынок, очевидно, характеризуют большие объёмы данных. Проблему неопределённости, возникающую при обработке таких объемов, помогает решить оценка рисков.
Определение. Рыночный риск – это возможность несоответствия характеристик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым лицами, принимающими решения под действием рыночных факторов.
Различают следующие виды рыночного риска: процентный риск (interest rate risk), валютный риск (foreign exchange risk), риск колебаний рыночных цен товаров (commodity price risk), риск колебаний цен акций (equity price risk), риск производных инструментов (derivative risk).
Как в качестве непосредственной меры риска, так и в качестве одной из важных величин, применяемых в более сложных методиках измерения риска на фондовом рынке используется волатильность (volatility).
Определение. Волатильность (в широком смысле) – это изменчивость, вариация во времени величины финансового или экономического показателя.
Мерой риска удобнее считать волатильность доходности, поскольку величина дохода зависит от размера или стоимости актива на начало и конец отчётного периода, а также от характера изменения этой стоимости в течение всего отчётного периода.
Основная причина по которой работа с доходностями активов является более предпочтительной, чем с непосредственными ценами активов, заключается в том, что доходности имеют более привлекательные статистические свойства. Кроме того, доходности (относительные и логарифмические) очень часто предпочитаются абсолютным изменениям стоимости, потому что последние не показывают изменения относительно некоторого заданного ценового уровня. Преимуществом же логарифмической доходности является то, что она очень легко применяется для множества периодов.
В сущности, волатильность – это мера неопределенности инвестиции. Любое движение цены может быть разбито на две части: ожидаемое движение цены и некоторая ее случайная составляющая: волатильность. Предсказуемая часть движения цены описывается понятием «ожидаемой доходности». Для ее вычисления применяются различные методы. В частности, мы будем для этой цели использовать модель CAPM. Волатильность же является случайной составляющей изменения доходности финансового инструмента и, в соответствии с формулой Ито (3), вычисляется следующим образом:
где
логарифмическая доходность, вычисляемая по формуле: 
стоимость финансового инструмента в момент времени 
;
– ожидаемая доходность;
– волатильность: случайная величина (временной ряд) с нулевым математическим ожиданием, которая описывается дисперсией.
То есть движение цены за некоторый интервал рассматривается как некое планируемое трендовое движение и случайное отклонение от тренда определяемое волатильностью. Волатильность, таким образом, является случайной величиной, или (при рассмотрении изменения цены за несколько временных интервалов) временным рядом. Другим способом введения понятия «волатильность» является ее прямое определение как среднеквадратическое отклонение вероятностного распределения доходности. Далее разберем один из основных способов моделирования волатильности.
Будем рассматривать волатильность как нормально распределенную случайную величину с дисперсией, равной дисперсии доходности за временной интервал (шаг во времени, согласно которому формируется выборка). По методу SMA (Simple Moving Average) оценкой волатильности будет служить стандартное отклонение, рассчитанное по некоторой исторической выборке:
где 
длина исторической выборки.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Задание. Используя модель CAPM рассчитать ожидаемую доходность акций одной из реально существующих компаний, торгующихся на Московской Фондовой Бирже, двумя способами: приближенно и точно. Сравнить полученные результаты и сделать выводы.
Решение.
Возьмем компанию «Аэрофлот». В качестве исходного материала нам потребуются котировки акций компании. Взять их можно, например, на сайте finam.ru. Точнее, следует выбрать вкладку «Котировки», затем интересующую компанию и с помощью опции «Экспорт котировок» получить нужный файл с самыми последними данными. Далее, в качестве рыночной доходности будем рассматривать изменения индекса РТС (RTSI), также это может быть индекс ММВБ (MICECX). Для американских акций зачастую берут изменения индекса S&P500. Заметим, что для корректной оценки, количество актуальных данных должно быть не менее 250 значений. Нами были взяты ежедневные котировки акции и индекса за 1 год, начиная с 01.07.2015 по 01.07.2016г.:
Табл.1. Исходные данные
| дата | котировки акций аэрофлот (AFLT) | котировки индекса RTSI |
| 01.07.2015 | 37,3 | 930,66 |
| 02.07.2015 | 37,00 | 932,04 |
| 03.07.2015 | 37,05 | 919,61 |
| 06.07.2015 | 36,67 | 902,88 |
| 07.07.2015 | 36,75 | 885,78 |
| 08.07.2015 | 875,67 | |
| 09.07.2015 | 38,05 | 889,76 |
| 10.07.2015 | 38,07 | 905,2 |
| 13.07.2015 | 38,1 | 915,47 |
| 14.07.2015 | 38,94 | 919,79 |
| 15.07.2015 | 38,96 | 909,45 |
| 16.07.2015 | 39,55 | 919,81 |
| ….. | ….. | ….. |
| 30.06.2016 | 85,5 | 931,35 |
| 01.07.2016 | 86,02 | 930,77 |
Замечание. Чем больший временной отрезок выбирается, тем точнее будет получаться оценка коэффициента бета.
Далее необходимо рассчитать текущую доходность акции и индекса, по формулам из 15.5. Получаем:
Табл.2. Доходности индекса и ценной бумаги
| дата | котировки акций аэрофлот (AFLT) | котировки индекса RTSI | доходность акций AFLT | доходность индекса RTSI |
| 01.07.2015 | 37,3 | 930,66 | -0,008042895 | 0,001482819 |
| 02.07.2015 | 37,00 | 932,04 | 0,001351351 | -0,013336337 |
| 03.07.2015 | 37,05 | 919,61 | -0,01025641 | -0,018192495 |
| 06.07.2015 | 36,67 | 902,88 | 0,00218162 | -0,018939394 |
| 07.07.2015 | 36,75 | 885,78 | 0,034013605 | -0,011413669 |
| 08.07.2015 | 875,67 | 0,001315789 | 0,016090536 | |
| 09.07.2015 | 38,05 | 889,76 | 0,000525624 | 0,017352994 |
| …. | …. | ….. | ….. | ….. |
| 29.06.2016 | 83,41 | 905,36 | 0,025056948 | 0,028706813 |
| 30.06.2016 | 85,5 | 931,35 | 0,006081871 | -0,000622752 |
| 01.07.2016 | 86,02 | 930,77 |
Теперь получим оценку коэффициента бета. Для этого воспользуемся формулой из 15.2.Сначала с помощью функции «КОВАР» посчитаем ковариацию доходностей акций «Аэрофлот» и рынка (индекса РТС):
Далее, с помощью функции «ДИСП» считаем дисперсию доходности рынка (индекса РТС):
В результате получаем точную оценку бета:
Табл.3. Точная оценка бета
 | 0,000111778 |
 | 0,000471276 |
 | 0,237181381 |
Теперь получим приближенную оценку коэффициента бета с помощью построения линии тренда посредством пакета MS Excel. Для этого следует выбрать и выделить все данные в столбцах с доходностью (акции и индекса) и нажать на значок диаграммы в MS Excel. Следует выбрать точечную диаграмму, а затем - макет с линией тренда. При этом на оси oX следует откладывать значение доходности ценной бумаги, а на оси oY – доходность рынка. На полученном графике следует отобразить уравнение линии тренда, чтобы увидеть приближенное значение коэффициента бета. Получаем:
Рис.4. Линия тренда
Как мы видим, уравнение тренда имеет вид: 
. Согласно определению коэффициента (см. 15.2) имеем:
Коэффициент 
характеризует риск ценной бумаги (по отношению к рынку в целом), который берет на себя инвестор, владеющий этой бумагой. Следовательно, нам необходимо сравнить доходность акций «Аэрофлот» с доходностью индекса РТС, который для нас в данном случае служит эталоном. Мы получили, что 
, следовательно акции компании «Аэрофлот» примерно в 4,5 раза менее рискованны, чем индекс, с которым мы ее сравнили. Это означает, что если индекс РТС упадет на 9%, то акции компании «Аэрофлот» всего лишь на 2%. Отметим также, что риск связан с доходностью. Бумаги «Аэрофлот» действительно не будут много терять при падении рынка. Однако они также не будут приносить высокий доход при росте рынка (соответственно, в пять раз меньше, чем рынок).
Как и большинство инструментов финансового анализа и прогнозирования, не может полностью предсказать будущую ситуацию на рынке. Фактически коэффициент характеризует волатильность ценной бумаги в прошлом. На основании этого мы прогнозируем будущую волатильность, естественно не слишком точно. Коэффициент может резко меняться от года к году, следовательно, значения коэффициента за прошлые годы – не всегда точный способ предсказать текущую волатильность. А это, в свою очередь, говорит о том, что мы не можем спрогнозировать движение бумаги в будущем.
Наконец, посчитаем ожидаемую доходность акции «Аэрофлот» в модели CAPM. Для начала подсчитаем среднерыночную доходность. Имеем:
0,000233868.
Ранее мы получили, что точное и приближенное значения отличаются примерно на 9%. Оценим теперь ожидаемые доходности (см. 15.2). Получаем:
Как мы видим, погрешность в оценке ожидаемой доходности менее трех процентов. Потому для приближенной оценки ожидаемой доходности акций компании не существенно каким именно образом был получен коэффициент .
В соответствии с замечанием о необходимости корректирования коэффициента , пересчитаем его (и ожидаемую доходность) по методу М.Блюма. Получаем:
Следовательно,
Оценим теперь волатильность по методу SMA:
Табл.4. Оценка волатильности по методу SMA
| Дата | Котировка акции «Аэрофлот» | Логарифмическая доходность (ЛД):  | ЛД-СЛД | (ЛД-СЛД)2 |
| 01.07.2000 | 4,7 | 0,519300251 | 0,336160954 | 0,113004187 |
| 01.07.2001 | 7,9 | 0,090696561 | -0,092442735 | 0,008545659 |
| 01.07.2002 | 8,65 | 0,249385787 | 0,066246491 | 0,004388598 |
| 01.07.2003 | 11,1 | 0,975748802 | 0,792609505 | 0,628229827 |
| 01.07.2004 | 29,45 | 0,361856741 | 0,178717445 | 0,031939925 |
| 01.07.2005 | 42,29 | 0,167672334 | -0,015466963 | 0,000239227 |
| 01.07.2006 | 50,01 | 0,336129389 | 0,152990093 | 0,023405968 |
| 01.07.2007 | 69,99 | 0,027062962 | -0,156076334 | 0,024359822 |
| 01.07.2008 | 71,91 | -0,827652486 | -1,010791783 | 1,021700029 |
| 01.07.2009 | 31,43 | 0,657851304 | 0,474712007 | 0,22535149 |
| 01.07.2010 | 60,68 | 0,144023292 | -0,039116005 | 0,001530062 |
| 01.07.2011 | 70,08 | -0,51721969 | -0,700358987 | 0,490502711 |
| 01.07.2012 | 41,78 | 0,31692944 | 0,133790143 | 0,017899802 |
| 01.07.2013 | 57,36 | -0,126384251 | -0,309523548 | 0,095804827 |
| 01.07.2014 | 50,55 | -0,250466971 | -0,433606267 | 0,188014395 |
| 01.07.2015 | 39,35 | 0,805295282 | 0,622155985 | 0,38707807 |
| 01.07.2016 | 88,04 | |||
сумма всех логарифмических доходностей:  | 2,930228748 | сумма квадратов разностей ЛД- СЛД:  | 3,261994599 | |
длина исторической выборки (во временных интервалах)  | сумма квадратов разностей ЛД.- СЛД /( кол-во временных интервалов -1):  | 0,217466307 | ||
средняя логарифмическая доходность (СЛД):  | 0,183139297 | оценка волатильности:   | 0,466332828 |
Теперь у нас есть все, для того, чтобы произвести моделирование цены акции методом Монте-Карло.
Моделирование стохастического процесса с помощью метода Монте-Карло - это процедура выбора случайных значений процесса. Ранее мы получили, что ожидаемая доходность составляет 5%, а волатильность - 47%. Следовательно, в формуле (3) 
В нашем случае 
(1 день). Из формулы (3) получаем:
Или
Траекторию цены можно смоделировать выбирая значения 
из совокупности чисел, имеющих стандартное нормальное распределение и подставляя в (4). Функция СЛЧИСЛ() в Excel возвращает случайное число из 
. Функция, возвращающая обратное нормальное распределение – это НОРМОБР( , 0,1) (параметры 0 и 1 выбраны, поскольку мы имеем дело со стандартным нормальным распределением). Таким образом, чтобы сгенерировать случайную величину, состоящую из значений, принадлежащей совокупности чисел, имеющих стандартное нормальное распределение, необходимо записать: =НОРМОБР(СЛЧИСЛ( ), 0, 1). В качестве первоначальной цены берем текущую котировку акции «Аэрофлот». На 19.07.2016 (закрытие) это 87,58 ₽. Из формулы (4) вычисляем изменение цены акции. Это будет цена на следующем шаге. И т.д.
Табл.5. Моделирование цены акции
| Моделирование цены акции | ||
| ожидаемая доходность | 0,05301734 | 5% |
| оценка волатильности | 0,466332828 | 47% |
| первоначальная цена акции | 87,58 | |
| длина интервала (1 день) | 0,002739726 | |
| цена акции в начале периода | случайное значение | изменение цены |
| 87,58 | 0,921960903 | 1,983632206 |
| 89,56363221 | -0,971959071 | -2,111845288 |
| 87,45178692 | -1,401017386 | -2,977921059 |
| 84,47386586 | -0,126152368 | -0,247846079 |
| 84,22601978 | -0,642030399 | -1,307697521 |
| 82,91832226 | 0,900880858 | 1,835383137 |
| 84,7537054 | 0,734190151 | 1,531167444 |
| 86,28487284 | -1,697209529 | -3,56200292 |
| 82,72286992 | -0,387421386 | -0,770257975 |
| 81,95261195 | -0,271734018 | -0,53166725 |
| 81,4209447 | -1,71758233 | -3,401699699 |
| 78,019245 | -0,651457622 | -1,229283736 |
| 76,78996126 | -0,137523931 | -0,246615976 |
| 76,54334529 | 2,512572948 | 4,705470409 |
| 81,2488157 | 0,69311435 | 1,386386273 |
| 82,63520197 | 0,414139749 | 0,847339717 |
| 83,48254169 | -2,408230089 | -4,895180573 |
| 78,58736111 | 1,218306776 | 2,34841618 |
| 80,93577729 | 0,960722607 | 1,90972077 |
| 82,84549806 | -0,440215708 | -0,878159097 |
| 81,96733896 | -0,136945254 | -0,262085682 |
Следует понимать, что в этой таблице продемонстрирован только один из многочисленных вариантов изменения цены. Другие случайные выборки приведут к другим случайным траекториям. Окончательную цену акции (81,96733896) можно интерпретировать как прогнозируемую цену через 4 недели (20 торговых дней). Повторяя вычисления, можно получить полное распределение вероятностей цены акции, которые могут быть зафиксированы в этот момент времени. Заметим, что количество таких итераций должно быть не менее пяти.
Табл.6. Цены акции для пяти траекторий
| Траектория 1 | Траектория 2 | Траектория 3 | Траектория 4 | Траектория 5 |
| 87,58 | 87,58 | 87,58 | 87,58 | 87,58 |
| 89,56363221 | 88,4684193 | 83,42703343 | 88,73571991 | 89,32648511 |
| 87,45178692 | 85,18536124 | 79,81870693 | 90,15915423 | 91,35052751 |
| 84,47386586 | 83,26267155 | 80,11009456 | 83,91783046 | 92,58635344 |
| 84,22601978 | 84,73982796 | 77,19130376 | 82,76218866 | 92,28842574 |
| 82,91832226 | 81,87969862 | 77,36820451 | 79,07922531 | 92,6305858 |
| 84,7537054 | 81,20206561 | 76,1955305 | 76,71927448 | 97,28520289 |
| 86,28487284 | 84,48984131 | 78,48865914 | 75,3961155 | 91,74529513 |
| 82,72286992 | 88,73190123 | 81,97110197 | 78,47924085 | 87,49644062 |
| 81,95261195 | 94,21697714 | 78,30763186 | 80,38043065 | 90,36620589 |
| 81,4209447 | 92,75633057 | 76,36811408 | 81,98169096 | 91,25250428 |
| 78,019245 | 94,19585438 | 76,21221599 | 82,03565297 | 87,181692 |
| 76,78996126 | 94,35378397 | 74,04692384 | 80,0158866 | 88,28542753 |
| 76,54334529 | 96,12192779 | 73,69743675 | 79,60626118 | 89,43876648 |
| 81,2488157 | 94,42031153 | 73,03714713 | 77,53168258 | 88,85184018 |
| 82,63520197 | 96,4022953 | 73,95446951 | 80,19941808 | 86,60739886 |
| 83,48254169 | 94,1779642 | 75,27696973 | 81,73366654 | 86,43263398 |
| 78,58736111 | 91,86190597 | 76,65712465 | 85,91330107 | 85,54004021 |
| 80,93577729 | 89,80688812 | 76,83107937 | 86,83718289 | 86,07757177 |
| 82,84549806 | 91,14386246 | 77,44589252 | 88,06084298 | 85,1258601 |
| 81,96733896 | 87,92347357 | 80,2280338 | 88,33293499 | 84,1677167 |
Результаты представлены на графике ниже:
Рис.5. Траектории движения акции
Количество траекторий зависит от требуемой точности. Неопределенность обратно пропорциональна квадратному корню из количества траекторий. Следовательно, для удвоения точности необходимо увеличить количество траекторий в четыре раза, для десятикратного увеличения - в 100 раз.
Вывод: Ожидаемая доходность акций «Аэрофлот» оказалась ниже, чем доходность по безрисковому активу (примерно 5% против 10%). При этом рынок показывает практически нулевую доходность. Что как раз и означает, что наблюдается кризис, которой приводит к оттоку капитала и созданию неустойчивой инвестиционной среды. Оценка волатильности составила 47%, что вписывается в стандарты ( от 15% до 60%). Моделирование траекторий говорит нам о том, что ожидаемый диапазон цен – от 80 до 100₽. С вероятностью 60% ожидается падение цены примерно на 5-10%, с вероятностью 40% цена акции останется на прежнем уровне. Как мы видим, на данный момент нет никаких предпосылок для роста акций «Аэрофлот».
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Задание. Используя модель CAPM рассчитать ожидаемую доходность акций одной из реально существующих компаний, торгующихся на Московской Фондовой Бирже, двумя способами: приближенно и точно. Оценить ее волатильность методом SMA. Смоделировать поведение акции методом Монте-Карло. Сравнить полученные результаты и сделать выводы. Компанию, по которой проводится исследование, выбирает преподаватель таким образом, чтобы:
1) в одной группе студентов все компании были бы различны;
2) текущие котировки акций и архив данных находится с открытом доступе;
3) для студентов РЭУ им. Г.В. Плеханова источником данных является база данных компании Thomson Reuters.
ЛИТЕРАТУРА
1. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты / Джон. К. Халл ― М. : Издательский дом «Вильямс» 2013 .
2. Theory of Probability and Random Processes / L.B.Koralov, Y.G.Sinai. Springer, 2007.
РАЗДЕЛ IV. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
РАБОТА № 15.