Сложные и непрерывно начисляемые проценты

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

, где

P — исходная сумма;

S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами);

i — процентная ставка, выраженная в долях;

n — число периодов начисления.

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря, S = (1 + i)ⁿP

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Часто рассматривается следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет j, а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12). Тогда формула для наращенной суммы будет выглядеть:

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке.

Иногда рассматривают ситуацию так называемых непрерывно начисляемых процентов, то есть годовое число периодов начисления m устремляют к бесконечности. Процентную ставку обозначают δ, а формула для наращенной суммы:

S = Pe^δn.

В этом случае номинальную процентную ставку δ называют сила роста.

Реальная и номинальная ставки

Различают номинальную и реальную процентную ставку.

Реальная процентная ставка — это процентная ставка, очищенная от инфляции. Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой:

i_r = i_n − π

где:

i_n — номинальная процентная ставка; i_r — реальная процентная ставка;

π — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Ирвинг Фишер предложил более точную модель взаимосвязи реальной, номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера:

При небольших значениях уровня инфляции π результаты мало отличаются, но если инфляция велика, то следует применять формулу Фишера.

Формула сложных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

-проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

S = P+ I = P + P• i = P • (1 + i)– за один период начисления;

S = (P + I) • (1 + i) = P • (1 + i) • (1 + i) = P• (1 + i)²

– за два периода начисления; отсюда, за n периодов начисления формула примет вид: S= P (1 + i)ⁿ = P k_н , где

S – наращенная сумма долга;

P – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k_н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен: (1 + i).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид: (1 + i)ⁿ.

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.

При краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)ⁿ ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)ⁿ ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)ⁿ .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

-более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

-более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

-обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример 1. Сумма в размере 2'000 руб. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма

S= P • (1 + i)ⁿ = 2'000 • (1 + 0,1)² = 2'420 руб.

или

S = P • k_н = 2'000 • 1,21 = 2'420 руб.,

где k_н = 1,21

Сумма начисленных процентов

I = S - P = 2'420 - 2'000 = 420 руб.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2'420 руб., из которой 2'000 руб. составляет долг, а 420 руб. – "цена долга".

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

-общийметод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

S = P • (1 + i)ⁿ, n = a + b,

где n– период сделки;

a– целое число лет;

b – дробная часть года.

-смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

S= P• (1 + i)^a • (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)^a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример 2. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. руб. со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами.

Решение:

Общий метод:

S= P • (1 + i)ⁿ = 250 • (1 + 0,095)^2,9 = 320,87 тыс. руб.

Смешанный метод:

S = P• (1 + i)^a • (1 + bi) =

= 250 • (1 + 0,095)² • (1 + 270/360 • 0,095) =

= 321,11 тыс. руб.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. руб.,

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. руб.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.