Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы)

При рассмотрении функции №3 сложного процента «Текущая стоимость аннуитета» была выведена общая формула оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо.

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

где Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru - фактор текущей стоимости обычного аннуитета.

Обратную величину множителя, имеющую вид Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru называют фактором фонда обычной амортизации (функция сложного процента).

Из формулы (*) следует, что фактор фонда обычной амортизации равен величине периодического платежа, погашающего за n лет при заданной процентной ставке r основную сумму кредита в одну единицу и проценты за невозмещенную сумму (кредита). Причем платежи осуществляются в конце каждого года.

Временная оценка денежных потоков может поставить перед аналитиком проблему определения величины самого аннуитета, если известны его текущая стоимость, число взносов и ставка дохода.

Задача. Какую сумму можно ежегодно снимать со счета в течение пяти лет, если первоначальный вклад 1,5 тыс. руб. Банк начисляет ежегодно 10% при условии, что снимаемые суммы будут одинаковые.

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Таким образом, если положить на счет под 10% годовых 1,5 тыс. руб., то можно пять раз в конце года изъять со счета по 395 руб. 70 коп. Дополнительно полученные деньги в сумме 478,50 руб. (395,70 * 5 – 1500) является результатом начисления процентов на уменьшающийся остаток вклада.

Функция «периодический взнос на погашение кредита» является обратной по отношению к функции «текущая стоимость аннуитета».

Если текущая стоимость аннуитета равна произведению аннуитета и фактора текущей стоимости аннуитета, то определение величины аннуитета при помощи фактора текущей стоимости аннуитета возможно по формуле:

Аннуитет = Текущая стоимость аннуитета * (1 / Фактор текущей стоимости аннуитета).

Аннуитет может быть как поступлением (то есть входящим денежным потоком) так и платежом (то есть исходящим денежным потоком) по отношению к инвестору, поэтому данная функция может использоваться при необходимости для расчета величины равновеликого взноса в погашение кредита при заданном числе взносов и заданной процентной ставке. Такой кредит называется самоамортизирующимся.

Пример. Рассчитать величину ежегодного взноса в погашение кредита, предоставленного на 15 лет под 12% годовых в сумме 40 тыс. руб.

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Заемщик уплатит кредитору за 15 лет 88092 руб. (5872,80*15), что превышает величину выданного кредита на 48092 руб. (88092-40000) Разница является результатом процентов, уплаченных заемщиком за пользование кредитом за весь период кредитования при условии, что основной долг постоянно уменьшается.

В разделе 4.3. была записана формула определения приведенной стоимости переменного аннуитета пренумерандо.

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

где Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru - фактор текущей стоимости авансового аннуитета (множитель).

Обратную величину множителя Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru называют фактором авансовой амортизации.

Фактор фонда авансовой амортизации равен величине периодического платежа, погашающего за n лет при заданной процентной ставке r основную сумму кредита в одну единицу и проценты за невозмещеную сумму (кредита). Причем платежи осуществляются в начале каждого года.

4.5. Функция 5 – будущая стоимость аннуитета (наращение – прямая задача)

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения

С1
С2
С3
..........
Сn-1
Cn
Cn
Cn-1(1+r)
Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru
Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru
………….

На первое денежное поступление С1 начисляются сложные проценты за (n-1)период и оно в конце n-го периода станет равным Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

На второе денежное поступление С2 начисляются сложные проценты за (n-2) периода и оно станет равным Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru и т.д.

На последнее денежное поступление Cn-1 проценты начисляются за один период и оно будет в конце n-го периода равно Сn-1(1+r).

На последнее денежное поступление Сn проценты не начисляются.

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Будущая стоимость FV исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

где FM1(r,n)=(1+r)n – множитель наращения.

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следующим образом.

С1
С2
С3
..........
Cn
Cn(1+r)
Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru
Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru
………….
n-1
n

Наращенный денежный поток имеет вид:

С1(1+r)n, C2(1+r)n-1, …. , Cn(1+r)

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо рассчитывается по форомуле

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Оценка постоянного аннуитета постнумерандо

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой

С123=А

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке r предполагает оценку будущей стоимости аннуитета (FVpst).

Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, записанный в порядке поступления платежей наращенный денежный поток (в аннуитет постнумерандо) имеет вид

А(1+r)n-1, A(1+r)n-2, ….. , A(1+r), A

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=(1+r) и первым членом А. Число членов прогрессии равно n. Тогда будущая стоимость аннуитета равна сумме этой прогрессии

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

где Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru – коэффициент наращения аннуитета.

Экономический смысл коэффициента наращения аннуитета заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета.

Коэффициент наращения аннуитета показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим его также называют коэффициентом аккумуляции вкладов или фактором будущей стоимости обычного аннуитета.

Если r – процентная ставка (в десятичных дробях) за базовый период, а начисление процентов происходит m раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления имеет вид

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен А и знаменатель Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru . Сумма n первых членов этой прогрессии равна

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рассматривать с двух позиций.

1) Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и один раз в конце периода начисляются проценты в соответствие со ставкой r.

Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются сложные проценты.

На р-е поступление проценты не начисляются и оно остается равным А.

На предпоследнее (р-1) – е поступление начисляются сложные проценты за Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru -ю часть периода и оно будет равно Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

(в числителе 1,2 и т.д. до р-1 означает степень, в которую возводится множитель члена аннуитета)

На р-е поступление начисляются сложные проценты за Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru -ю часть периода и оно будет равно Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru и числом членов, равным р. Сумма этих величин равна:

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Т.о., можно считать, что имеем аннуитет в котором денежные поступления равны величине Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru и происходят в конце каждого базового периода начисления процентов. Поэтому получим:

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

2) Пусть на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются простые проценты. Определим сумму, которая накопится к концу любого периода.

Последнее р-1 поступление равно А.

На предпоследнее (р-1)-е поступление начисляются простые проценты за Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru -ю часть периода и оно будет равно Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru .

(p-2) – е поступление станет равным Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru и т.д.

Первое поступление станет равным Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Полученные величины образуют арифметическую прогрессию, следовательно их сумма равна

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Аналогичным образом можно рассмотреть и самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m раз за период. Например, если начисляются только сложные проценты, то как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.

Позднее р-е поступление в периоде остается равным А. Предпоследнее (р-1)-е поступление после начисления сложных процентов составит Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

(р-2)-е поступление - Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Находим сумму полученных величин

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Cчитая, что есть аннуитет с денежными поступлениями, равными полученной сумме с использованием формулы (1) получим:

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Оценка постоянного аннуитета пренумерандо

Т.к денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями, равными А, и процентной ставкой r, наращенный денежный поток имеет вид:

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Учитывая, что Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренумерандо в (1+r) раз больше наращенной суммы постнумерандо.

Множитель Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru называется фактором будущей стоимости авансового аннуитета.

Для аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода, используя формулу Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

получим:

Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят р раз. Тогда с учетом того, что Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru можно записать Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Пусть денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m раз за период. Тогда с учетом Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru можно записать Функция №4 – периодический взнос на погашение кредита (взнос на амортизацию единицы) - student2.ru

Наши рекомендации