Объединение безрискового актива с единственным рискованным активом

Предположим, что вы решили инвестировать 100000 долл. Перед вами безрисковый актив с процентной ставкой 0,06 годовых и рискованный актив с ожидаемой ставкой доходности в 0,14 годовых и стандартным отклонением в 0,20³. Какую часть от 100000 долл. вам следует вложить в рискованный актив⁴?

Все доступные комбинации риска и доходности показаны в табл. 12.1 и на рис. 12.1. Начнем с ситуации, когда вы вкладываете все свои деньги в безрисковый актив (точка F на. рис. 12.1 и первая строка в табл. 12.1). Столбец 2 в табл. 12.1 показывает долю портфеля, инвестированную в рискованный актив (0), а столбец 3 — долю портфеля, инвестированную в безрисковый актив (100%). При сложении доли всегда дают 100%. Столбцы 4 и 5 табл. 12.1 содержат ожидаемую доходность и стандартное отклонение, соответствующие портфелю F: Е(г), равную 0,06 в год, и о, равную 0,00.

Ситуация, когда вы инвестируете все свои деньги в рискованный актив, соответствует точке S на рис. 12.1 и последней строке в табл. 12.1. В этом случае ожидаемая или средняя доходность равна 0,14, а ее стандартное отклонение составляет 0,20.

На рис. 12.1 ожидаемая ставка доходности портфеля, Е(г), показана на вертикальной оси, а стандартное отклонение, <т, — на горизонтальной. Доли портфеля неявно отражены в данных рис. 12.1 и более точно представлены в табл. 12.1.

На рис. 12.1 в графическом виде показаны соотношения между риском и доходностью. Линия на рис. 12.1, соединяющая точки F, G, H, J и S, представляет набор (портфель) свободно доступных вам вариантов из рискованного и безрискового акти-в⁵. Каждая точка на линии соответствует портфелю из этих двух видов активов, представленных в столбцах 2 и 3 в табл. 12.1.

Определение и формулы для вычисления ожидаемой (средней) ставки доходности и ее стандартного отклонения можно найти в разделах 10.8 и 10.9. Обратите внимание, что в данной главе ^мы Указываем ставки доходности как десятичные числа, а не как процентные значения.

В данном разделе активы и ценные бумаги — синонимы. — Прим. ред

В качестве безрискового актива могут выступать, например, казначейские векселя США, а Ркованного — акции какой либо корпорации. — Прим. ред.

В точке F, которая на рис. 12.1 расположена на вертикальной оси, при Е(г), равной 0,06 в год, и сг, равной 0, все ваши деньги вложены в безрисковый актив. Вы ничем не рискуете, и ваша ожидаемая доходность составляет 0,06 в год. Чем больше денег вы изымаете из безрискового актива, помещая их в рискованный, тем дальше вы двигаетесь вправо по линии, обозначающей соотношение риск/доходность. При этом степень риска повышается, но и ожидаемая доходность увеличивается. Если же все ваши деньги вложены в рискованный актив, вы окажетесь в точке S с ожидаемой доходностью Е(г) в 0,14 и стандартным отклонением о-в 0,20.

Таблица 12.1. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля в связи с долей средств, инвестированной в рискованны) актив

Вариант портфеля (1)	Доля портфеля, инвестированная в рискованный актив,% (2)	Доля портфеля, инвестированная в безрисковый актив, % (3)	Ожидаемая ставка доходности E(r) (4)	Стандартное отклонение о (5)
F			0,06	0,00
G			0,08	0,05
Н			0,10	0,10
J			0,12"	0,15
S			0,14	0,20

Стандартное отклонение

Рис. 12,1. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью инвестиционного портфеля

Примечание. Точке F соответствует ситуация, когда портфель на 100% состоит из инвестиций в безрисковые ценные бумаги с доходностью 0,06 годовых. Точке S соответствует ситуация, когд 100% инвестиций сделано в рискованные активы с ожидаемой доходностью 0,14 годовых и < равным 0,20. В точке // портфель наполовину состоит из рискованных, наполовину — ^из рисковых активов.

Портфель //(соответствующий третьей строке в табл. 12.1) наполовину состоит, наполовину— из безрискового. Если 50% суммы вложено рискованные ценные бумаги, а 50% — в безрисковые, ожидаемая доходность будет находиться посередине между ожидаемой ставкой доходности портфеля, полностью состоящего из акций, т.е. рискованных активов (0,14), и процентной ставкой, которую гарантируют безрисковые активы (0,06). Ожидаемая ставка доходности (0,10) показана в столбце 4, а стандартное отклонение (0,10) — в столбце 5.

Контрольный вопрос 12.5

Найдите на рис. 12.1 точку, которая соответствует портфелю J. С помощью табл. 12.1 определите состав данного портфеля, его ожидаемую доходность и стандартное отклонение. Какая часть от общей суммы в 100000 долл. будет вложена в рискованный актив, если вы выберете портфель J?

Теперь давайте разберемся, как на рис. 12.1 можно определить состав портфеля для любой точки, лежащей на прямой риск/доходность, а не только для точек, представленных в табл. 12.1. Предположим, например, что мы хотим определить состав портфеля, для которого ожидаемая ставка доходности равна 0,09. Судя по рис. 12.1, точка, соответствующая такому портфелю, лежит на прямой риск/доходность между точками G и Н. Но каков точно состав портфеля и его стандартное отклонение? Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится формула, описывающая график соотношения риска и доходности, которая связала бы все точки на рис. 12.1. Поступите следующим образом, разбив ваши действия на ряд последовательных этапов.

Этап 1. Определите соотношение между ожидаемой доходностью и долей инвестиций, приходящейся на рискованный актив.

Пусть w обозначает долю от 100000 долл., которая вложена в рискованный актив. Оставшаяся часть будет равна (I - w); и она вложена в безрисковый актив. Ожидаемая ставка доходности портфеля Е(r) задана формулой:

(12.1)

где Е (r) обозначает ожидаемую ставку доходности рискованного актива, а r_f — безрисковая ставка доходности. Подставив вместо значение 0,06, а вместо Е (r) — 0,14, получим:

E (r)= 0,06 + w (0,14-0,06) = 0,06 + 0,08w

Уравнение 12.1 интерпретируется следующим образом. Базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности (0,06 в нашем примере). Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут дополнительную премию за риск, которая зависит от (1) премии за риск по рискованному активу E (r_s) - r_f (0,08 в нашем примере) и от (2) доли портфеля, инвестированной в рискованный актив и обозначенной w.

Чтобы определить состав портфеля, соответствующий ожидаемой ставке доходности в 0,09, надо подставить нужные значения в уравнение 12.1 и вычислить w.

0,09=0,06+0,08w

(0.09-0,06), 0,08

Таким образом, портфель на 37,5% состоит из рискованного актива, а на 62,5% — из безрискового.

Этап 2. Определите связь между стандартным отклонением и долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив.

Если в одном портфеле объединены рискованный и безрисковый активы, то стандартное отклонение доходности такого портфеля равно стандартному отклонению доходности рискованного актива, умноженному на его вес в портфеле. Обозначив стандартное отклонение рискованного актива как о_s получим формулу стандартного отклонения доходности портфеля:

Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 0,09, подставим в уравнение 12.2 вместо w значение 0,375 и вычислим s

s =s_sw =0,2х0,375 =0,075

Таким образом, стандартное отклонение доходности портфеля составило 0 075. Наконец, мы можем убрать w, чтобы вывести формулу, напрямую связывающую ожидаемую ставку доходности со стандартным отклонением на прямой риск/доходность.

Этап 3.Определите соотношение между ожидаемой ставкой доходности и стандартным отклонением.

Чтобы вывести точное уравнение, описывающее прямую риск/доходность на рис 12.1, надо видоизменить уравнение 12.2 и представить w как соотношение о/о. Подставив это соотношение вместо w в уравнение 12.1, получим:

Другими словами, ожидаемая ставка доходности портфеля, выраженная как функция его стандартного отклонения, представляет собой прямую линию, пересекающую вертикальную ось в точке t[ == 0,06 и наклоном, равным:

Угол наклона прямой характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор.

12.2.3. Как получить заданную ожидаемую доходность: пример 1

Давайте определим состав портфеля, ожидаемая ставка доходности которого соответствовала бы значению 0,11 в год. Каким будет в этом случае стандартное отклонение доходности?

Решение

Чтобы определить состав портфеля с ожидаемой ставкой доходности в 0,11, нэл⁰ подставить данные в уравнение 12.1 и найти w.

0,11 =0,06+0,08w

Следовательно, в портфеле содержится 62,5% рискованного актива и 37,5% безрискового.

Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 0,11, надо в уравнении 12.2 вместо w подставить значение 0,625 и определить s.

s= 0,2w= 0,2х0,625 =0,125

Следовательно, стандартное отклонение доходности портфеля равно 0,125

Контрольный вопрос 12.6

Где будет находиться пересечение прямой риск/доходность с осью OY и каков будет ', ее наклон (рис. 12.1), если безрисковая процентная ставка будет равна 0,03 годовых, ' а ожидаемая ставка доходности рискованного актива — 0,10 годовых?