Разделение бесконечности

Чтобы сформулировать проблему, вернёмся к примеру с нашими собаками. Допустим, вы живёте в районе, в котором 3 лабрадора и одна такса. Закрывая глаза на усложнения типа частоты выгула собак, заключаем, что вероятность встретить лабрадора в 3 раза выше. Тот же вывод справедлив, если вокруг 300 лабрадоров и 100 такс; 3000 лабрадоров и 1000 такс; 3 миллиона лабрадоров и 1 миллион такс и так далее. Но что, если оба этих числа бесконечно большие? Как сравнить бесконечное число такс с троекратно бесконечным числом лабрадоров? Звучит как детский вопрос, ставящий в тупик родителей. Но это на самом деле серьёзный вопрос. Правда ли, что троекратная бесконечность больше обычной бесконечности? Если да, она больше именно в 3 раза?

Как известно, сравнение бесконечно больших чисел является исключительно хитроумной задачей. Для собак на Земле такой проблемы, конечно же, не возникает, потому что их численность конечна. Но для вселенных, входящих в какую-то определённую мультивселенную, эта проблема стоит весьма реально. Возьмём, например, инфляционную мультивселенную. Рассматривая весь кусок швейцарского сыра с точки зрения воображаемого внешнего наблюдателя, можно увидеть, что кусок продолжает увеличиваться и безостановочно порождает новые вселенные. Именно это подразумевается под термином «вечная» в «вечной инфляция». Кроме того, мы видели, что с точки зрения внутреннего наблюдателя каждая отдельная дочерняя вселенная тоже имеет бесконечное число разделённых между собой областей, что приводит к лоскутной вселенной. Пытаясь сделать те или иные предсказания, мы с неизбежностью сталкиваемся с бесконечностью вселенных.

Для понимания математической стороны вопроса представьте, что вы выиграли в телевизионной викторине и вам достался необычный приз: бесконечный набор конвертов, в первом из которых лежит 1 доллар, во втором 2 доллара, в третьем 3 доллара и так далее. Как обычно, под аплодисменты зала ведущий предлагает вам сделать выбор. Либо вы берёте ваш приз, как он есть, либо содержание каждого конверта можно удвоить. На первый взгляд вам очевидно, что второй вариант гораздо выигрышней. «В каждом конверте будет в 2 раза больше денег, чем раньше» — думаете вы, — «поэтому будет правильным выбрать именно второй вариант». Действительно, если число конвертов конечно, то такое решение было бы правильным. Обменять 5 конвертов с 1, 2, 3, 4 и 5 долларами на конверты с 2, 4, 6, 8 и 10 долларами будет более чем разумно. Однако, немного подумав, вы начнёте сомневаться, потому что поймёте, что в бесконечном случае всё не так очевидно. «Если выбрать второй вариант», — думаете вы, — «у меня останутся конверты с 2, 4, 6 и так далее долларами, то есть со всеми чётными числами. Но сейчас в конвертах находятся доллары, пробегающие весь ряд целых чисел, как чётных, так и нечётных. Поэтому если выбрать второй вариант, то из полной суммы денег будут отобраны все конверты с нечётным количеством долларов. Как-то непохоже, что это будет правильным решением». Вы начинаете лихорадочно соображать. Если сравнивать поконвертно, то второй вариант весьма привлекателен. А если сравнивать наборы конвертов, то не очень.

Дилемма, с которой вы столкнулись, иллюстрирует тип математических ловушек, которые так затрудняют сравнение бесконечных наборов. Зрители в зале начинают нервничать, вам пора уже сделать выбор, а ваша оценка того или иного выбора зависит от того, как вы сравниваете два результата.

Аналогичная неоднозначность возникает и при сравнении самих основ таких наборов: числа элементов в каждом из них. Пример с телевизионной викториной также хорошо иллюстрирует эту сторону вопроса. Чего больше: всех чётных чисел или всех целых чисел? Большинство людей ответят, что больше целых чисел, потому что чётные числа составляют лишь половину от общего количества. Однако опыт викторины позволяет более аккуратно подойти к этому вопросу. Представьте, что вы выбираете второй вариант — получить все чётные суммы долларов. В этом случае вам не придётся откладывать в сторону часть конвертов или требовать новые, так как ведущий просто удвоит сумму денег в каждом из них. Таким образом, заключаете вы, число конвертов, необходимых для размещения всех нечётных и всех целых сумм долларов является тем же самым, и, следовательно, заполнение каждой категории чисел равно между собой (табл. 7.1). И это странно. Сравнивая одним методом — рассматривая чётные числа как подмножество всех целых чисел, — вы делаете вывод, что целых чисел больше. Применяя другой метод — подсчитывая, сколько надо конвертов для размещения каждого вида чисел, — вы делаете вывод, что множество целых чисел и множество чётных чисел имеют одинаковое заполнение.

Таблица 7.1. Каждое целое число спарено с чётным числом, и наоборот, откуда возникает предположение, что их количества совпадают

Таблица 7.2. Каждое целое число спарено с дважды чётным числом, в результате чего остаётся бесконечный набор чётных чисел без пары. Отсюда возникает предположение, что чётных чисел больше, чем целых

Можно даже убедить себя, что чётных чисел больше чем целых. Представьте, что в качестве альтернативного варианта на викторине предлагается учетверить деньги в каждом конверте так, что в первом окажется 4, во втором 8, в третьем 12 долларов и так далее. Так как число конвертов опять не изменилось, возникает предположение, что количество целых чисел из первого варианта равно количеству чисел кратных 4 из второго варианта (табл. 7.2). Однако такое составление пар, когда каждое целое число сопоставляется числу кратному 4, даёт бесконечный набор чётных чисел, оставшихся без пары — 2, 6, 10 и так далее, — что наводит на мысль, что чётных чисел больше чем целых.

С одной стороны, количество чётных чисел меньше чем целых. С другой стороны, эти количества равны друг другу. С третьей стороны, чётных чисел больше чем целых. И выходит, что нет какого-то одного правильного вывода. Абсолютного ответа на вопрос, какой из этих бесконечных наборов больше, попросту не существует. Получаемый вами результат зависит от способа сравнения.86

Здесь возникает головоломка для теорий с мультивселенными. Как определить, что тот или иной тип вселенных имеет больше галактик и более расположен к возникновению жизни, если число рассматриваемых вселенных бесконечно? Мы столкнёмся с точно такими же двусмысленностями, как были описаны выше, если физические соображения не продиктуют, что взять за основу при определении способа сравнения . Теоретики сформулировали несколько способов сравнения, аналогичных составлению пар в приведённых выше таблицах, которые возникают в той или иной физической модели, — однако определённой процедуры, с которой согласны все, пока не разработано. Разные подходы приводят к разным результатам, подобно примерам с бесконечными наборами чисел. Согласно одному способу сравнения, преимущество имеют вселенные с одним набором свойств; согласно другому способу — другие.

Такой произвол сильно влияет на определение типичных или средних свойств в данной мультивселенной. Физики называют это проблемой измерения . Смысл этого математического термина вполне отражён в его названии. Необходимо иметь способ измерения размеров различных бесконечных наборов вселенных. Именно эта информация необходима для того, чтобы делать предсказания. Именно эта информация необходима, чтобы разобраться, насколько вероятнее, что мы находимся во вселенной одного типа, а не другого. Пока не будет найден фундаментальный принцип для сравнения бесконечных наборов вселенных, мы не сможем математически предсказывать результаты наблюдений и экспериментов, проводимых типичными обитателями мультивселенной, то есть нами. Поэтому нам не удастся избежать решения проблемы измерения.