Непозиционная система счисления

Позиционная система исчисления

Позиционная система счисления (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Определения.

Позиционная система счисления определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Целое число без знака в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

где – это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждый базисный элемент в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) (значением показателя степени).

С помощью позиций в b-ричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от до , то есть всего различных чисел.

Запись чисел.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

В ненулевых числах начальные нули обычно опускаются.

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

— это число 123 в десятичной системе счисления;

— то же число в восьмеричной системе счисления;

— то же число, но в двоичной системе счисления;

— то же число, но в десятичной системе счисления с двоичным кодированием десятичных цифр (BCD);

— то же число, но в несимметричной троичной системе счисления;

— то же число, но в симметричной троичной системе счисления, знаки «i», «7», «2» и «-» обозначают «-1», знаки «1» и «+» обозначают «+1».

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

-в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);

-в Паскале знаком «$» в начале числа;

-в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

В русских счётах для записи чисел в десятичной показательной позиционной системе счисления применяется унарнодесятичная система записи (представления) десятичных цифр с одной избыточной унарнодесятичной цифрой «1111111111»= на каждый разряд.

Примеры.

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании)

3 — троичная система счисления

4 — четверичная система счисления

8 — восьмеричная (в программировании)

10 — десятичная система счисления

12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас)

16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах)

40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности: в частности, «сорок сороков» = 1600)

60 — шестидесятеричная (использовалась в древнем Вавилоне, а впоследствии древнегреческими астрономами для измерения угловых координат звёзд (долготы и широты) и для измерения времени)

Свойства.

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

-Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо к унарной системе счисления, в которой используется только одна цифра.

-Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется цифр, где означает взятие целой части числа.

-Естественный порядок на натуральных числах соответствует лексикографическому порядку на их представлениях в позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представления можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом. Например, для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной системе счисления нужно сравнивать цифры в одинаковых разрядах слева направо:

а) 3 = 3 — результат сравнения чисел пока не определён;

б) 2 > 1 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).

-Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе.

Непозиционная система счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.