Теория струн и математика
Сравнение с экспериментальными или наблюдательными данными является единственным способом определить, правильно ли теория струн описывает природу. Но эта цель оказалась труднодостижимой. Несмотря на все успехи теории струн, она остаётся исключительно математической конструкцией. Но было бы неправильным считать теорию струн простым потребителем математических идей. Наоборот, некоторые важные струнные достижения являются вкладом в развитие математики.
Как известно, работая над созданием общей теории относительности, Эйнштейн перерыл всю математическую литературу, пытаясь найти строгий язык описания искривлённых пространств. Более ранние математические достижения таких математиков, как Карл Фридрих Гаусс, Бернхард Риман и Николай Лобачевский, подвели под общую теорию относительности крепкий фундамент. В некотором смысле, сейчас теория струн помогает выплатить интеллектуальный долг Эйнштейна, подталкивая развитие новых математических направлений. Тому есть много примеров, но я приведу лишь один, который целиком отражает суть струнных открытий в математике.
В общей теории относительности выстроена прочная связь между геометрией пространства-времени и наблюдаемой физикой. Уравнения Эйнштейна, дополненные распределением материи и энергии в некоторой заданной области, определяют конечную форму пространства-времени. Различные физические условия (то есть различные конфигурации масс и энергии) приводят к различной форме пространства-времени; разные виды пространства-времени соответствуют физически различным условиям. Хотите узнать, каково это — падать в чёрную дыру? Проведите вычисления на основе пространственно-временной геометрии, открытой Карлом Шварцшильдом при изучении сферических решений уравнений Эйнштейна. А что если чёрная дыра быстро вращается? Тогда вычисляйте с помощью геометрии, открытой в 1963 году новозеландским математиком Роем Керром. Геометрия и физика в общей теории относительности подобны инь и ян.
Теория струн резко меняет подобное заключение, утверждая, что могут быть различные формы пространства-времени, приводящие, тем не менее, к физически неотличимым описаниям реальности.
Это можно осмыслить следующим образом. Начиная с античных времён и до эры современной математики, геометрические пространства рассматриваются как набор точек. Например, мячик для пинг-понга состоит из точек, составляющих его поверхность. До теории струн базовые конституэнты вещества также считались точками, точечными частицами, и такая общность основных ингредиентов говорила о согласованности между геометрией и физикой. Однако в теории струн основным объектом является не точка. Это струна. Отсюда следует, что с теорией струн должен быть связан новый тип геометрии, основанный не на точках, а на петлях. Эта новая геометрия получила название струнной геометрии .
Чтобы ощутить струнную геометрию, вообразите струну, которая движется в геометрическом пространстве. Заметим, что зачастую струна может вести себя как точечная частица, невинно скользя туда-сюда, сталкиваясь со стенками, взбираясь на горки и опускаясь в долины, и так далее. Но в определённых ситуациях струна способна на нечто новое. Представьте, что пространство (либо его часть) имеет форму цилиндра. Струна может навиться вокруг него, подобно резиновому колечку, натянутому на банку с газировкой, — такая конфигурация в принципе невозможна для точечной частицы. Такие «намотанные» струны и их «ненамотанные» коллеги прощупывают геометрическое пространство разными способами. Если цилиндр станет толще, то намотанная на него струна ответит растяжением, а ненамотанная струна, скользящая по его поверхности, ничего не заметит. Следовательно, намотанные и ненамотанные струны по-разному чувствуют проявления формы пространства, в котором они движутся.
Это наблюдение крайне интересно, потому что приводит к поразительному и совершенно неожиданному выводу. Струнные теоретики обнаружили специальные пары геометрических форм пространства, проявляющие совершенно разные свойства, когда их прощупывают с помощью ненамотанных струн. Они также проявляют совершенно разные свойства при их тестировании намотанными струнами. При этом — тут наступает кульминационный момент — при тестировании струнами обоих типов, намотанными и ненамотанными, эти пространства становятся неразличимы. То, что намотанные струны видят в одном пространстве, ненамотанные видят в другом, и наоборот, что приводит к одинаковой коллективной картине, составленной на основе полной физики теории струн.
Такие парные формы являются мощным математическим инструментом. Если в общей теории относительности вы интересуетесь тем или иным свойством, то следует выполнить математические расчёты, привлекая то единственное геометрическое пространство, возникающего в изучаемой системе. Но в теории струн существование пар физически эквивалентных геометрических форм означает, что у вас появился выбор: проводить вычисления можно с помощью любой формы. Совсем удивительно, что при гарантированно одинаковых ответах для любой формы математические выкладки по пути к ответу могут быть совершенно разными. Во многих ситуациях крайне трудные математические вычисления для одной геометрической формы становятся более чем простыми для другой. При этом понятно, что любой математический аппарат, позволяющий упростить сложные математические расчёты, имеет огромную ценность.
В течение многих лет физики и математики достаточно продуктивно пользовались этим словариком по переводу сложного в простое для продвижения вперёд в решении ряда важных математических проблем. Одна такая задача, которую я особенно люблю, посвящена подсчёту числа сфер, которые можно упаковать (некоторым специальным математическим способом) в заданное пространство Калаби–Яу. В течение долгого времени математики интересовались этим вопросом, но вычисления во всех случаях, кроме простейших, были непреодолимыми. Возьмите пространство Калаби–Яу, показанное на рис. 4.6. Если упаковывать сферу в это пространство, она может много раз намотаться на часть пространства Калаби–Яу, подобно тому как лассо может много раз намотаться на пивную бочку. Итак, сколько существует способов упаковать сферу в данное пространство, если сфера наматывается, скажем, пять раз? Услышав такой вопрос, математик должен кашлянуть, бросить мельком взгляд на свои ботинки и быстро удалиться, сославшись на неотложную встречу. Теория струн сгладила остроту вопроса. Переводя вычисления со сложного на простое пространство из пары Калаби–Яу, струнные теоретики получили ответы, которые огорошили математиков. Каково число пятикратно намотанных сфер, упакованных в пространство Калаби–Яу на рис. 4.6? 229 305 888 887 625. А если сфера намотана десять раз? 704 288 164 978 454 686 113 488 249 750. Двадцать раз? 53 126 882 649 923 577 113 917 814 483 472 714 066 922 267 923 866 451 936 000 000. Эти числа стали предвестниками целого спектра результатов, открывших новую главу в математике.49
Итак, независимо от того, правильно теория струн описывает физическую Вселенную или нет, она уже проявила себя в качестве мощного инструмента исследований вселенной математической.