Гидростатика, плотность тел

КИНЕМАТИКА

(2006-2) Школьники побывали в музее-имении Л.Н. Толстого «Ясная поляна» и возвращались в Рязань на автобусах, которые ехали со скоростью v₁ = 70 км/ч. Пошел дождь, и водители снизили скорость до v₂ = 60 км/ч. Когда дождь кончился, до Рязани оставалось проехать S = 40 км. Автобусы поехали со скоростью v₃ = 75 км/ч и въехали в Рязань в точно запланированное время. Сколько времени шел дождь? Чему равна средняя скорость автобуса? Для упрощения считайте, что автобусы в пути не останавливались.

(2007-1) Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Земли и Марса. Марс совершает оборот вокруг Солнца за 687 земных дней, а Земля – за 365 дней.

(2009-1) Два друга – Егор и Петя – устроили гонки на велосипедах вокруг квартала в дачном поселке (см. рисунок). Стартовав одновременно из точки B в разные стороны, Егор – вдоль улицы BA, Петя – вдоль улиц BC и CA, друзья встретились через 4 минуты в точке A и продолжили гонки с постоянными по модулю скоростями, объезжая квартал раз за разом в противоположных направлениях. Через какое минимальное время после этой встречи они снова окажутся вместе в точке A?

(2010-1) Почтальон Печкин выехал из райцентра Сметанино в деревню Простоквашино с посылкой для кота Матроскина. Он ехал со скоростью 15 км в час, а расстояние, которое ему надо было проехать, составляет 15 км. Приехав в Простоквашино, он обнаружил, что по дороге потерял посылку, и сразу же поехал за ней обратно. Когда он нашел посылку, то подобрал ее и снова поехал к коту. Тем временем кот Матроскин, который хотел как можно быстрее получить посылку, сразу после выезда Печкина из Простоквашино побежал за почтальоном со скоростью 5 км в час, и получил посылку через полчаса из рук Печкина, который уже снова ехал в Простоквашино. На каком расстоянии от Сметанино Печкин потерял посылку?

(2010-2) На соревнованиях пахарей надо было как можно быстрее обработать трактором с навесными орудиями (боронами шириной 10 м) квадратный участок поля площадью 1 гектар (т.е. 100х100 м²). Трактор при этом мог двигаться только вперед со скоростью 2 м/с и совершать повороты с минимальным радиусом 10 м (по центру трактора) на той же скорости. Вне поля достаточно места для любых разворотов, и вся площадь поля должна быть проборонована. Предложите и нарисуйте на прилагаемом листе траекторию движения трактора, при движении по которой время, необходимое для обработки поля, будет как можно меньшим. Рассчитайте, чему равно это время.

(2011-1) Красная Шапочка испекла 20 пирогов, сложила их в корзинку и отправилась через лес к больной бабушке. Когда до бабушки ей оставалось пройти 3 км, из кустов выскочил голодный волк с явным намерением съесть хоть что-нибудь. Увидев его, Красная Шапочка бросила на землю один пирог и побежала со скоростью 2,5 м/с. Волк съел пирог за 1 минуту и побежал за Красной Шапочкой со скоростью 5 м/с. Тогда Красная Шапочка стала бросать пироги, как только волк начинал ее догонять, и так добежала до бабушкиного дома. Сколько пирогов досталось бабушке?

(2011-2) Наблюдая за кокосом, свободно падающим с вершины пальмы, турист обнаружил, что пройденное им расстояние s зависит от времени падения t как , где g = 10 м/с². Турист также определил, что средняя скорость кокоса за время падения составляет _ср = 5 м/с. Определите высоту пальмы h.

(2011-3) Братья Коля и Саша ехали на автобусе из пункта A в пункт B. Дорога состояла из двух частей, на каждой из которых автобус ехал с постоянной скоростью. На первой части скорость автобуса была равна V₁, а на второй части скорость была равна V₂. Средняя скорость автобуса на всём пути оказалась равной . Коля и Саша поспорили о том, как соотносятся длины этих частей пути и времена их прохождения. Коля считает, что автобус половину пути ехал со скоростью V₁, а другую половину пути – со скоростью V₂. Саша считает, что автобус половину времени ехал со скоростью V₁, а другую половину времени – со скоростью V₂. Можно ли из условия задачи определить, прав ли кто-нибудь из братьев, и если да, то кто из них?

(2012-1) Школьник Вася, стоя на эскалаторе, поднялся наверх за 1 мин. Его друг Петя, идя по эскалатору вверх, поднялся за 40 с. Сколько времени понадобится Пете, чтобы по тому же эскалатору спуститься вниз (против движения эскалатора), если он будет бежать со скоростью в три раза быстрее, чем идет?

(2012-2) На рисунке изображен график зависимости скорости автомобиля v от пройденного им пути S. Какое расстояние проехал автомобиль за первые 2 минуты своего движения?

(2012-3) Школьницы Ирина, Карина и Марина бегают по кругу в одном направлении с постоянными скоростями. Ирина и Карина встречаются каждые 2 минуты. Карина и Марина встречаются каждые 3 минуты. Как часто встречаются Ирина и Марина?

(2013-1) На прямой в точке А находится пункт отправления робота Кузи, который может перемещаться вдоль прямой от точки А до точки D с одинаковой скоростью V, модуль которой равен 0,5 м/с. Программа управления робота позволяет изменять направление скорости Кузи только в точках А В, С и D, причем AB = BC = CD. Кроме того, программа предусматривает, что каждый час Кузя должен вернуться в точку А. При прохождении точек В, С и D срабатывает замыкающий элемент, который зажигает наградную светодиодную лампочку на корпусе Кузи. Зажженные лампочки горят во все время его движения. Определите:

(а) расстояние между точками, в которых срабатывает устройство, зажигающее наградные лампочки;

(б) количество наград на корпусе Кузи через пять часов после старта из точки A, если известно, что последовательность прохождения точек, зажигающих наградные лампочки, в каждый час была различной.

ПРОСТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

(2006-4) Провода над железной дорогой, питающие током электропоезда, натягиваются с помощью системы, показанной на рисунке. Она крепится к столбу и состоит из тросов, блоков с изоляторами и стального груза квадратного сечения со стороной a = 20 см. Сила натяжения толстого троса, который идет от крайнего блока к держателю проводов, равна T = 8 кН. Какова высота h стального груза? Плотность стали равна r_с = 7800 кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

(2007-3) На заводе для подъема тяжелых заготовок используется система из четырех блоков и одного троса, закрепленных на потолке, как показано на рисунке. С какой силой F надо тянуть вниз за конец троса, чтобы удерживать или медленно и равномерно поднимать заготовку, вес которой равен P? Участки троса, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны, весом блоков, троса и трением можно пренебречь.

СТАТИКА

(2008-3) На рисунке изображены рычаги, на которых имеются крючки, прикрепленные через одинаковые расстояния. Крючки пронумерованы от –3 до 3, причем 0 приходится на середину рычага. К некоторым крючкам прикреплено по нескольку грузов одинаковой массы. Имеется еще один такой же не подвешенный груз. К крючку с каким номером его нужно подвесить, чтобы рычаг находился в равновесии? Решите задачу для каждого из трех случаев, представленных на рисунке.

(2008-4) К потолку над горизонтальным столом подвешена пружина. Если к ее концу прикрепить груз и дождаться установления равновесия, груз окажется на столе в случае, если его масса превосходит значение m₀ = 400 г. С какой силой F груз массой будет давить на стол? Размерами груза по сравнению с растяжением пружины можно пренебречь. Отношение действующей на груз силы тяжести к массе груза (эта величина называется ускорением свободного падения) g = 10 Н/кг = 10 м/c². Решите задачу в общем случае и при m = 1 кг.

(2008-5) Поплавок для рыболовной удочки имеет объем V = 5 см³ и массу m = 2 г. К поплавку на леске прикреплено свинцовое грузило, и при этом поплавок плавает, погрузившись на половину своего объема. Найдите массу грузила M. Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³, плотность свинца ρ_с = 11300 кг/м³.

(2009-2) В системе, изображенной на рисунке, масса самого правого груза равна m₄ = 1 кг, а массы всех блоков одинаковы и равны m₀ = 300 г. Система уравновешена и неподвижна. Найдите массы грузов m₁, m₂ и m₃. Массой троса и трением в блоках пренебречь.

(2010-3) На легком горизонтальном рычаге с двумя опорами находятся пустые легкие бочки. Расстояние от оси левой бочки до левой опоры метра, от оси правой бочки до правой опоры – метра, расстояние между опорами метр. В обе бочки одновременно начинают наливать с небольшой скоростью воду из разных кранов. Как должны соотноситься скорости и наполнения бочек, то есть массы воды, поступающие в единицу времени в каждую бочку, чтобы система оставалась в равновесии?

(2013-4) Пин смастерил для смешариков ракету, и им стали доступны космические просторы. Первыми космонавтами стали Крош, Бараш, Ежик, Лосяш и Нюша. Все они были одинаковой массы.

Пин строго наказал Нюше следить за весом космонавтов с помощью сложнейшего прибора под названием «ДИНАМОМЕТР».

«Запомни, Нюша! – сказал Пин. – Вес тела массой 1 кг на Земле равен 10 Н, на Луне 1,6 Н, а на Марсе 4 Н.»

Нюша ничего не понимала в динамометрах, но старалась быть ответственной. На Земле она взвесила сразу всех, включая себя, и обнаружила, что пружина динамометра удлинилась на 12,5 сантиметров. Так она и записала в бортовой журнал: «Наш вес на Земле 12,5 сантиметров динамометра». На Луне Нюша сделала следующую запись: «Наш вес уменьшился на 10,5 сантиметров.» На Марсе в бортовом журнале Нюша сделала заготовку «Наш общий вес по сравнению с Луной . . . .ился на . . . см.». Однако, взвесив всех, она отвлеклась на марсианский пейзаж и не закончила фразу.

Вернувшись на Землю, Нюша получила нагоняй от Пина с угрозой, что больше она никуда не полетит. Пин также отметил: «Хе-хе! Масса-то наших космонавтов не менялась во время полетов!»

Запишите полную фразу Нюши, чтобы она смогла продолжить свои космические путешествия.

ГИДРОСТАТИКА, ПЛОТНОСТЬ ТЕЛ

(2006-1) Найдите примерную величину давления в центре Земли, считая, что средняя плотность вещества земного шара равна r = 5000 кг/м³. Радиус Земли R_З = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 10 м/с².

(2006-3) Во льдах Арктики в центре небольшой плоской льдины площадью S = 70 м² стоит белый медведь массой m = 700 кг. При этом надводная часть льдины выступает над поверхностью воды на высоту h = 10 см. На какой глубине под водой находится нижняя поверхность льдины? Плотность воды r_в = 1000 кг/м³, плотность льда r_л = 900

кг/м³.

(2007-2) На земле лежит слой снега толщиной h = 70 см. Давление снега на землю (без учета атмосферного давления) равно p = 630 Па. Погода морозная, и снег состоит из воздуха и льда. Определите, сколько процентов объема снега занимает лед, а сколько процентов – воздух. Плотность льда равна ρ_л = 0,9 г/см³. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с².

(2007-4) Сплошной шарик подвешен в сосуде на двух легких нитях, как показано на рисунке. Свободные концы нитей закреплены на одной высоте. После того как сосуд заполнили водой, и шарик оказался полностью погруженным в воду, натяжение нитей не изменилось. Определите плотность ρ материала, из которого изготовлен шарик. Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³.

(2008-2) Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась равной ρ = 600 кг/м³. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе, плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих частей бруска. Массой краски можно пренебречь.

(2009-3) Пятидесятиметровый бассейн шириной 20 м имеет профиль дна, показанный на рисунке: через каждые 12,5 м глубина бассейна увеличивается на 1 м. Пустой бассейн начинают заполнять водой, наливая ее со скоростью 1000 литров в минуту. Построить график зависимости высоты h уровня воды над самой глубокой частью дна бассейна от времени t и определить, через какое время бассейн заполнится водой доверху.

(2009-4) У школьника Андрея есть стеклянная пробирка массой M = 80 г и вместительностью V = 60 мл. Он опустил пробирку в цилиндрический сосуд с водой и постепенно насыпал на дно пробирки песок до тех пор, пока она не погрузилась в воду по горлышко (см. рисунок). Затем Андрей измерил массу песка, находившегося в пробирке в этот момент, и она оказалась равной m = 12 г. Внутренний радиус сосуда, в который опущена пробирка, равен R = 5 см. Плотность воды равна ρ_в = 1 г/см³. Определите по этим данным плотность стекла пробирки и вычислите, на сколько поднялся уровень воды в сосуде в результате погружения пробирки в воду.

(2010-4) В известном мультфильме про Винни-Пуха есть явное несоответствие: Винни-Пух надувает воздушный шарик обычным воздухом и взлетает на нём. Для того, чтобы воздушный шарик поднимался (а тем более поднимал Винни-Пуха), нужно, чтобы он был наполнен лёгким газом, плотность которого меньше плотности окружающего воздуха. Можно предположить, что Винни-Пух надувает шарик тёплым воздухом, плотность которого, как известно, меньше плотности холодного. Рассчитайте, каким должен быть в этом случае минимальный необходимый для подъёма объём шарика, если плотность тёплого воздуха внутри кг/м³, плотность холодного воздуха снаружи кг/м³, а масса Винни-Пуха кг.

(2011-4) В Интернете сейчас можно найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого: группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет. Найдите, какой минимальной плотностью должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной 25 мкм. Размеры «корабля»: длина – 50 см, ширина – 20 см, высота бортов – 10 см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия 2,7 г/см³, плотность воздуха 1,3 кг/м³.

(2012-4) Вес груза в воздухе составляет 17 Н. Когда этот груз опустили в сосуд с водой, имеющий форму куба со стороной 1 дм, он утонул, полностью покрывшись водой, а ее уровень поднялся на 2 см, не достигнув верхнего края сосуда. Определите плотность материала груза.

(2013-2) В XVI веке мощная буря, прошедшая по Англии в местности Камберленд, вывернула с корнями деревья, и тогда местные пастухи обнаружили в обнажившейся земле под вывернутыми корнями некую тёмную массу, которую они посчитали углём, который поджечь, однако, не удалось. Это был графит. В дальнейшем из него начали производить тонкие заострённые на конце палочки и использовали их для рисования. Эти палочки были мягкими, пачкали руки и подходили только для рисования, но не для письма.

Столяр Каспар Фабер начал с 1761 года свое производство деревянных карандашей, что послужило началом истории фирмы Faber-Castell.

Карандаши различаются по твёрдости грифеля. Грифель карандаша средней твердости имеет плотность 2,1 г/см³, плотность деревянной оболочки 0,72 г/см³. Стандартная длина карандаша 17,5 см. Самый простой из всех простых карандашей имеет круглое сечение. Используя данный рисунок сечения такого карандаша на миллиметровой бумаге, определите его среднюю плотность.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

(2008-1) Строение кристалла некоторого металла схематически показано на рисунке. Атомы находятся в вершинах кубиков и образуют кубическую кристаллическую решетку. Известно, что плотность этого металла равна ρ = 7900 кг/м³, а масса одного атома m₀ = 9,3·10^–26 кг. Найдите объем V₀ одного кубика – элементарной ячейки данной кристаллической решетки.

(2013-3) Расстояние между отметками 35 °C и 42 °C шкалы медицинского ртутного термометра равно 5 см, а в резервуаре термометра хранится 2 г ртути. Оцените по этим данным площадь поперечного сечения капилляра термометра (в квадратных миллиметрах). Известно, что из-за теплового расширения плотность ртути при температуре 42 °C оказывается в 1,00125 раз меньше, чем при температуре 35 °C. Плотность ртути при температуре 35 °C считайте равной 13,6 г/см³. Тепловым расширением стекла можно пренебречь.