Нахождение усилий по линиям влияния

Если нагрузка представляет собой систему сосредоточенных грузов Р₁, Р₂,… Р_п, (рис. 1.6.5), то усилие

N = P₁у₁ + Р₂у₂ + ….+ Р_пу_п = (1.6.1)

где у_i —ординаты линий влияния под грузами.

для распределенной нагрузки q(х) сумма заменяется интегралом

N= (1.6.2)

где а и b — координаты начальной и конечной точек нагрузки. Для равномерной нагрузки q = const

N = q (1.6.3)

где - площадь, ограниченная линией влияния осью абсцисс и ординатами х = а и х = b (рис. 2.6).

Рисунок 1.6.5 Рисунок 1.6.6

Линии влияния позволяют легко находить невыгоднейшее расположение нагрузки, вызывающее наибольшую внутреннюю силу в рассматриваемом сечении. Это нужно для расчета систем, подвергающихся действию подвижной нагрузки, например конструкций мостов.

Единичный груз вызывает наибольшее усилие, если он расположен в вершине линии влияния, т. е. там, где ордината ее максимальна.

Для нагрузки в виде системы связанных между собой сосредоточенных грузов максимальное усилие можно найти, приравняв нулю производную от правой части формулы (1.6.1):

=0.

Если вершина линии влияния заостренная, то один из грузов, как правило, должен находиться над ней.

Часто нагрузка передается на конструкцию не непосредственно, а через систему статически определимых балок (рис. 1.6.7).

Рисунок 1.6.7

Тогда, если единичный груз находится в начале пролета балки, в точке а (рис 1.6.8), то он целиком передается на основную конструкцию и вызывает усилие, для которого построена линия влияния, численно равное у_а ординате линии влияния, соответствующей основной конструкции.

Рисунок 1.6.8 Рисунок 1.6.9

Если груз находится в конце пролета балки, то он также полностью передается на основную конструкцию, вызывая усилие, численно равное у_b, где у_b - ордината линии влияния в точке b. Наконец, если груз находится в середине пролета балки на расстоянии t от точки а (рис. 1.6.9, а), то левая опорная реакция балки будет равна (l₁ — t)/l₁, а правая t/1₁ (1₁ — пролет балки). Соответственно значение усилия в основной конструкции

т. е. линия влияния на участке движения груза по балке будет прямолинейная. Если основная линия влияния на этом участке ломаная или криволинейная, то при передаче нагрузки через статически определимую балку при переходе от ординаты у_а, к ординате у_b эта линия влияния спрямляется (рис. 1.6.9,б).Такой способ передачи нагрузки на основную конструкцию называется узловой передачей, так как он особенно часто встречается в фермах, где опоры балок настила располагаются над узлами фермы и балками служат сами панели верхнего или нижнего пояса.