Средняя квадратическая погрешность. Предельная и относительная погрешность.

Среднее арифметическое из случайных погрешностей не может объективно характеризовать точность измерений, так как на его величину оказывают влияние знаки случайных ошибок (происходит компенсация) и кроме того она не отражает влияние отдельных больших по абсолютной величине ошибок. Поэтому для оценки точности ряда равноточных измерений l₁; l₂; … l_n одной и той же величины Х, сопровождающейся случайными погрешностями ∆₁, ∆₂, , , , , , ∆_n, пользуется средней квадратичной ошибкой m, равной:

Пример: дан ряд случайных ошибок измерений некоторой величины: +4, - 2, 0, -4, +3.

Предельной погрешностью называют такое наибольшее по абсолютной величине значение случайной ошибки, которой она может достигнуть при данных условиях измерений. Установлено, что случайная ошибка может достигать удвоенной средней квадратической ошибки в пяти случаях из ста, утроенной – в трех из тысячи. Поэтому за предельную ∆_пр. принимают утроенную среднюю квадратическую ошибку ∆_пр. = 3m.

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к измеренной величине. Она выражается простой дробью, числитель которой равен единице. Обычно относительной ошибкой характеризуют линейные измерения.

Например, измерена линия длиной l=221,16 с абсолютной ошибкой ∆=0,11 м.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины.

Арифметическая средина является наиболее надежным результатом из многократных измерений. Ее точность характеризуется ошибкой, величина которой должна быть меньше заданной величины, чем количество измерений.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины определяется по формуле

Оценка точности по вероятнейшей погрешности.

В большинстве случаев истинное значение измеряемой величины не известно, поэтому для вычисления средней квадратической ошибки используют отклонения результатов измерений от их среднего арифметического. Эти отклонения называют вероятнейшими погрешностями.

Для вычисления средней квадратической погрешности по вероятнейшим вычисляют разности между каждым результатом измерения и арифметической срединой Х_0, эти разности возводят в квадрат и получают среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя

, где n - число измерений

l₁ – Х₀ = V₁…V₁²

l₂ – Х₀ =V₂…V₂ ²

…………..

…………..

l_n – Х_n =V_n…V_n ²

[l] – nХ₀ = [V], Суммарное уравнение,

Откуда [l] /n -Х₀ = [V] /n т.к. [l] /n = Х₀, то [V] /n = 0;

Но n ≠ 0, следовательно [V] = 0.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины по вероятнейшим ошибкам определяют по формуле

,

Среднюю квадратичную ошибку результата по разностям двойных измерений вычисляют по формуле:

, где n – число двойных измерений.

Неравноточные измерения.

Измерения могут быть равноточные и неравноточные. Неравноточными называются измерения одной и той же величины, которые выполняют разными приборами или исполнителями. По разным технологиям или в различных условиях. Неравноточные измерения имеют разный вес, тогда как равноточные измерения имеют одинаковый вес, т.е.степень доверия к результату.

Весом Р называют отношение целого числа С к квадрату средней квадратической погрешности

Р = С/m^2..

Из полученных неравноточных измерений, зная их вес, получают общую арифметическую средину или весовое среднее L₀ по формуле

,

где l₁, l₂ , … l _n являются средними арифметическими из рядов равноточных измерений.

Пример 1. Линия измерена два раза и получили первый раз среднее арифметическое l₁ = 212,45 с весом Р = 2.

Вторично эту же линию измеряли четыре раза и нашли среднее арифметическое l₂ = 212,38 с весом Р = 4, тогда

с весом Р = 6.