Элементы теории ошибок измерения
Классификация ошибок измерения
В геодезии при измерениях геометрических величин соответствующими приборами неизбежно возникают ошибки. Природа ошибок геодезических измерений вытекает из свойств измерительных приборов и субъективных особенностей операторов, пользующихся этими приборами. Ошибки первого рода носят название грубых промахов. К ним относятся просчеты оператора по причине его невнимательности или неисправности самого прибора. Ошибки первого рода недопустимы в геодезических измерениях и должны быть исключены полностью. Грубые промахи выявляются в процессе повторных измерений и внимательном анализе их результатов.
Ошибки второго рода называются систематическими. Эти ошибки происходят от известного источника, влияние которого можно учесть и откорректировать результаты измерения с помощью изменения методики получения результата.
Ошибки третьего рода носят название случайных ошибок. Они обусловлены, с одной стороны, классом точности геодезических измерительных приборов, состоянием окружающей среды и индивидуальными особенностями оператора, производящего измерения. Влияния ошибок измерения третьего рода избежать невозможно, но эти ошибки можно оценить с помощью методов математической статистики или теории ошибок. В основу теории ошибок положены следующие свойства:
1. Малые ошибки встречаются гораздо чаще, чем большие.
2. Ни одна из ошибок не может превышать известного предела.
3. При измерениях случайные ошибки могут быть больше или меньше истинной величины.
4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при бесконечном возрастании числа измерений.
Математическое ожидание (Арифметическая середина), вероятнейшая ошибка измерения, средняя квадратическая ошибка.
Пусть, например, в геодезии измерена длина линии одним и тем же прибором несколько раз. В этом случае, зная сколько раз была измерена длина и её численные значения, полученные в каждом измерении, можно рассчитать среднее арифметическое значение по результатам полученных измерений.
X = (l1 + l2 + l3 + … + ln)/n =Σli /n; (1)
Где X – математическое ожидание или вероятнейшее значение измеренной величины, li – результат каждого измерения, n – общее число измерений.
Разности между математическим ожиданием и численным значением результата каждого измерения называются вероятнейшими ошибками измерений:
(2)
Сложив равенства (2) получим:
То есть арифметическая сумма вероятнейших ошибок измерения равна нулю. Этот факт является контролем при вычислениях точности измерений.
Для расчетов точности результатов измерений используется понятие о средней квадратической ошибке, которая для одного измерения вычисляется по формуле:
Где - сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка математического ожидания вычисляется по формуле:
Предельная ошибка случайной величины не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, то есть:
В геодезии принято представлять результаты оценки точности измерений в виде таблиц. Рассмотрим результаты измерений длины линии.
Таблица 1
| № | Длина линии | Ошибка измерения (см) | Квадрат ошибки |
| 225,26 | +6 | ||
| 225,23 | +3 | ||
| 225,22 | +2 | ||
| 226,14 | -6 | ||
| 225,23 | +3 | ||
| 225,12 | -8 |
Xср = 225, 20; Σ = 0; Σ = 158; Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения: m = 5,6 см; Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку математического ожидания: M = 2,3 см.
В геодезии принято оценивать точность измерения длины по так называемой относительной ошибке, которую вычисляют с помощью деления абсолютной ошибки на длину линии. Для приведенного примера: 2,3/22 520 = 1/9800.
Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений
Предположим, что несколько линий измерено стальной лентой дважды, а именно: в прямом и обратном направлении. Сформируем соответствующую таблицу:
Таблица 2
| № | Результаты измерений м; | Разности см; | Квадраты разностей См2 | |
| X1 | X2 | |||
| 186,15 | 186,34 | -19 | ||
| 204,50 | 204,30 | +20 | ||
| 151,83 | 151,97 | -14 | ||
| 216,08 | 215,85 | +23 | ||
| 168,54 | 168,65 | -11 |
Вычислим сумму квадратов разностей Σ = 1615. Далее рассчитаем среднюю квадратическую ошибку одного измерения:
M = …. = 3,22 см. Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего из двух измерений: 3,22/… = 2,28 см.