Арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодези­ческих измерениях одинаковой точности, за окончательный ре­зультат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: l1, l2, l3, ..., ln, то

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (12)

Величина х называется арифметической срединой или вероят-нейшим значением измеренной величины.

Разности между каждым измерением и арифметической сре­диной называются вероятнейшими ошибками измерений:

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (13)

Сложив равенства (13), получим

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (14)

Из формул (12) и (14) следует, что [υ] = 0.

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (15)

где [и2] — сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число из­мерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины вычисляется по формуле:

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (16)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т. е.

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (17)

Пример.* Линия измерена шесть раз. Определить ее вероят-нейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в табл. 1.

Таблица 1

№ п/п Длина линии, м υ, СМ υ2 Вычисления
225,26 225,23 225,22 226,14 225,23 225,12 +6 +3 +2 -6 +3 -8 т=√158/(6-1)=5,6см М=5,6/√6=2,3см
хср = 225,20 [υ] = о 2] = 158  

По формулам (15) и (16) вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения изме­ренной линии равна

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (18)

то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой:

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (19)

При тх = ту = т

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (20)

Пример. Линия на плане масштаба 1:5000 измерена по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая часть длиной 400,0 м. Найти средние квадратические ошибки суммы и разности этих длин и соответствующие им относительные ошибки.

Ответ. Средняя квадратическая_ошибка суммы и разности двух длин будет тг =0,7 м, где т = 0,5-точность масштаба. Относительные ошибки суммы и разности длин соответственно равны

0,7/1000,5=1/1 400 и 0,7/200,5=1/300

Если функция имеет вид

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru(21)

то

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (22)

т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратиче-ских ошибок слагаемых.

Если m1 = m2 = m3 = .. . = mп= m. то формула (22) примет вид

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (23)

т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы (разности) измеренных с одинаковой точностью величин в √п раз больше средней квадратческой ошибки одного слагаемого.

Пример. В шестиугольнике каждый угол измерен с одинаковой точностью 0,5', средняя квадратическая ошибка суммы всех измеренных углов будет

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (24)

тоарифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru

арифметическая средина. средняя квадратическая ошибка. предельная и относительная ошибки - student2.ru (27)

Из формулы (27) следует, что квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.

Наши рекомендации