Решите задачи повышенной сложности

3.1. Функция полезности домохозяйства описывается формулой

U(C₁,C₂)=C₁ C₂,

где C₁— потребление в текущем году;

С₂ — потребление в будущем году.

Доход домохозяйства в текущем году составляет 20 тыс. долл., а в будущем году он составит 10 тыс. долл. Ставка процента равна 5%. Найдите объем потребительских расходов и сбережений домохозяйства в текущем и будущем году. Как изменится поведение домохозяйства, если ставка процента возрастет до 25%?

3.2. В 1992 г. самый высокий процент по рублевым вкладам обещал своим клиентам коммерческий банк "Империал" — 600% годовых. Инфляция в течение года составила приблизительно 900%.

Какова была реальная ставка процента, которую получили вклад­чики банка "Империал"?

3.3. Из договора двух коммерческих фирм следует, что сторо­ны считают эквивалентными суммы 10 тыс. долл. сегодня и 24 тыс. 414 долл. через четыре года. Можно ли по этим данным судить, какой процент на валютный вклад будут обеспечивать банки в те­чение четырех ближайших лет?

3.4. На рассмотрение предлагается три инвестиционных про­екта (данные о суммах вложений и выручки приведены в таблице).

	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год
Проект 1 Инвестиции, тыс. долл. Выручка, тыс. долл. Проект 2 Инвестиции, тыс. долл. Выручка, тыс. долл. Проект 3 Инвестиции, тыс. долл. Выручка, тыс. долл.	-   -   -	-   -   -		-     -   -	-     -   -

Ставка процента предполагается постоянной и положительной.

На основе метода чистой текущей ценности определите, какой из предлагаемых проектов предпочтительнее. Изменится ли ответ, если реальная ставка процента отрицательна?

3.5. Вы — мэр города. Городу необходим новый спорткомплекс. Спорткомплекс предлагают выстроить две фирмы: одна — в тече­ние двух лет, другая — в течение трех лет. Согласно их сметам, стоимость строительства комплекса по годам составит:

	1996 г.	1997г.	1998 г.
1-я фирма 2-я фирма

Какой из проектов предпочтительнее? Нужно ли, принимая реше­ние, учитывать прогнозируемую величину ставки процента и почему?

3.6. Некий господин просит у вас деньги в долг, предлагая сле­дующие условия: и он, и его наследники, и наследники его наслед­ников и т. д. будут платить вам, вашим наследникам и наследникам ваших наследников по 400 долларов ежегодно. Какова максималь­ная сумма, которую вы были бы готовы предоставить этому госпо­дину в долг, если ставка банковского процента по валютным вкла­дам постоянна и составляет 10% годовых?

3.7. Зависимость объема выращивания кукурузы (Q — центне­ров с гектара в год) от используемых площадей (X) для фермера описывается уравнением Q(X) = 100X- 1,5Х². Цена центнера куку­рузы — 6 долларов. Каков максимальный размер ренты, которую может уплатить фермер за пользование землей, если площадь участка — 25 гектаров? Если ставка процента равна приблизительно 5% в год, какова будет цена гектара земли?

3.8. Спрос на землю описывается уравнением

Q = 100 - 2R,

где Q — площадь используемой земли;

R — ставка ренты (в млн. рублей за гектар).

Какова будет равновесная ставка ренты, если площадь доступ­ных земельных угодий составляет 90 гектаров? Какова будет цена одного гектара земли, если ставка банковского процента составляет 120%? Государство устанавливает максимальный уровень ренты на уровне 3 млн. руб. за гектар. Как эта мера отразится на благосо­стоянии общества?

Ответы

3.1. Данная задача иллюстрирует проблему межвременных предпочтений (intertemporal choice). В общем виде межвременное бюджетное ограничение запишется:

где С₁ — потребление в текущем году;

С₂ — потребление в будущем году;

I₁ — доход в текущем году;

I₂ — доход в будущем году;

r— ставка процента.

Если принять цену текущего потребления за 1, то цена по­требления в будущем году (по принципу альтернативной ценности) составит: 1/(1 + r). Запишем условие оптимального выбора потре­бителя (Рс₁/Рc₂ = MRS — отношение цены текущего потребления к цене потребления будущего года равно предельной норме замены текущего потребления потреблением будущего года) и решим сис­тему из двух уравнений:

Потребление в текущем году составляет приблизительно 14,76 тыс. долл., сбережения — 5,24 тыс. долл. В будущем году потребление составит приблизительно 15,5 тыс. долл.

Если ставка процента возрастет до 25%, мы увидим, что по­требление в текущем году снижается до 14 тыс. долл., сбережения возрастают до 6 тыс. долл. В будущем году объем потребления со­ставит 17,5 тыс. долл.

3.2. Если i — ставка реального процента, Р — темп роста цен (уровень инфляции), а R — номинальная ставка процента, то (1 + i) (1 + Р) = 1 + R или (1 + i) (1 + 9) = 1+6. Отсюда реальная ставка процента составляет (-0,3) или (-30%).

3.3. В данном случае ставка банковского процента определяет­ся как ставка дисконтирования из формулы PV = FV/(1 + г)ⁿ, т. е. 10 = 24 414/(1 + г)⁴. Отсюда ставка дисконтирования — ставка процента — составляет приблизительно 25% годовых.

3.4. Для определения предпочтительности инвестиционных проектов необходимо сопоставлять чистую текущую ценность (net present value) трех предлагаемых проектов.

В общем виде

NPV = — PV _{инвестиций} + PV _{выручки}^.

В нашем случае мы можем сопоставлять NPV, не прибегая к подсчетам. Рассмотрим проекты 2 и 3. Очевидно, что текущая цен­ность инвестиций у этих проектов одинакова. Сравнение текущей ценности выручки демонстрирует преимущество второго проекта. Если приводить стоимость выручки к показателям третьего года, то: 100 + 1000/(1 +r) + 400/(1+r)² > 100 + 300/(1 +r) + 1100/ (1 +r)² при положительных значениях r.

Сравним первый и второй проекты. По аналогичной процедуре оп­ределяем, что текущая ценность инвестиций выше у первого проекта, а текущая ценность выручки — у второго проекта. Таким образом, мы определяем предпочтительность второго проекта. Если предположить отрицательные значения ставки дисконтирования, то ответ изменил­ся бы: второй инвестиционный проект стал бы наихудшим из трех.

3.5. Принимая решение, какой инвестиционный проект пред­почесть, следует сравнить текущую ценность затрат. Если срок строительства (два или три года) нам безразличен, следует выби­рать проект с наименьшими затратами. Текущая ценность затрат по первому проекту составляет:

2000 + 5000/(l+i),

а по второму:

3000+ 2000/(l+i) + 500/(1+ i)²,

где i — реальная ставка процента.

Очевидно, что соотношение текущей стоимости затрат двух фирм зависит от величины ставки процента. Решив неравенство

2000 + 5000/(1+ i) > 3000 + 2000/(1+ i) + 500/(l+i)²,

получим ответ (для неотрицательных величин ставки процен­та): 1,83 > i. Таким образом, если реальная ставка процента в тече­ние трех ближайших лет окажется ниже 183%, предпочтительным будет второй проект. Напротив, если ставка процента окажется выше 183%, предпочтение должно быть отдано второму проекту.

3.6. Максимальная сумма кредита должна быть равноценна потоку ежегодных платежей. Текущая (дисконтированная) стоимость потока текущих платежей составляет:

400/(1 + 0,1) +400/(1 + 0,1)² + 400/(1 + 0,1) 3 +...+ 400/(1 + 0,1) n при n, стремящемся к бесконечности. По формуле бесконечной гео­метрической прогрессии текущая стоимость потока платежей со­ставит 400/0,1 = 4 тыс. долл.

Следовательно, максимальная сумма кредита, которую вы были бы согласны предоставить этому господину, равна 4 тыс. долл.

Обратите внимание, что характер отношений между вами иден­тичен отношениям между государством-должником и покупателем бессрочной государственной облигации.

3.7. Известно, что цена ресурса (в данном случае земли) должна быть равна (при ценообразовании на конкурентном рынке ресурсов) предельному продукту ресурса в денежном выражении. Найдем предельный продукт земли. Он составляет:

МР_земли = 100 - 3Х.

Тогда предельный продукт земли в денежном выражении:

MRP = 600 - 18Х.

Поскольку Х = 25, предельный продукт земли в денежном вы­ражении составляет: 600 - 450 =150 долл. Таким образом, макси­мальная цена, которую фермер будет готов уплатить за гектар зем­ли, равна 150 долл. Цена земли в этом случае составит (рассчитыва­ем по формуле: Цена земли = Арендная плата/Ставка процента в десятичном выражении): 150/0,05 = 3000 долл. за гектар земли.

3.8. Равновесный уровень ренты определим из условия: 100— 2R = 90, откуда R = 5. Цену одного гектара земли найдем по известной нам формуле:

Цена земли = Рента/ Ставка банковского процента = 5/1,2 = 4,166 млн. руб.

Если государство установит фиксированный уровень ренты, то объем спроса (100-6 = 94) превысит объем предложения земли. Объем чистой экономической ренты, получаемой собственниками земли, сократится с 450 млн. руб. (90 5) до 270 млн. руб. (90 3). Влияние данного решения на выигрыш покупателя земли оценить количественно невозможно: с одной стороны, они выиграют от сни­жения уровня ренты, с другой стороны — будут страдать и проиг­рают от дефицита земли.

Тесты

Вариант А